理论力学 - 期中

这必须感谢大一的力学课, 目前学到的东西基本在赵爹课上都有讲过. 只是讲得更加细致一些.

数学

  1. 泰勒展开:

    \[f(x_0 + x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}}{k!}(x - x_0)^k\]
    • $e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$
    • $sin x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
  2. 导数:
    • $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x}$: 链式法则
    • $\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{s}} = \nabla f \cdot \frac{\boldsymbol{s}}{s}$: 方向导数
      推广: $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{r}}$
    • $\nabla$: 三角算子, 需要了解它在不同坐标系下的表现, 注意其矢量性和算符性即可.
    • $\nabla, \nabla \cdot, \nabla \times$: 梯度, 散度, 旋度

  3. 坐标系及其变换:
    指标: (详细的操作可以去参考之前的笔记, 之后可能会有更新. 或者去找别的, 比如ustc (之前的笔记写得太水了, 还是不看了… ))

    (注: 这里按照的是上面的 ustc 的规定. 可以看看下面的 附录: 曲线坐标系, 这里就不写了. )

    • 球坐标系
    • 柱坐标系
    • 极坐标系
    • 自然坐标系

牛顿

$\boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a}$

写了公式之后剩下的基本就是数学了. 比如 $\boldsymbol{a}$ 不同坐标系下的展开. 比如展开完了之后的运算.

在 $\boldsymbol{a}$ 的展开里面, 主要就是对基底的求导:

虽然可以通过 \(\dot{\boldsymbol{e}}_{q_j} = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{1}{h_{q_j}} \frac{\partial r_i}{\partial q_j}) e_i\) 来计算, 但是并不是很方便的感觉…

常见的有:

  • 极坐标系 (柱坐标系): $\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2)e_r + (r^2\ddot{\theta} + 2 \dot{r}\dot{\theta})e_\theta$
  • 球坐标系: 好复杂啊…

守恒定律

  • 动量 $\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{F}$
  • 角动量 $\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$
  • 动能 $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{F}$

在拉格朗日方程里面, 守恒定律对应着运动积分:

  • 可遗坐标: $\frac{\partial L}{\partial q} = 0 \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = 0$
    对应的 $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ 为广义动量积分.
  • 广义能量积分: $\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t} = -\frac{\partial L}{\partial t}$

拉格朗日

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]

或者写成最小作用量原理的形式:

\[S = \int_{t_1}^{t_2} L \mathrm{d}t \Rightarrow \delta S = 0\]

利用 欧拉方程 (和 $e^{i\theta}$ 那个不一样) 有:

\[\delta S = 0 \Leftrightarrow \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} (\frac{\partial F}{\partial y'})\]

约束

对于 $n$ 个质点的系统, 有 $s$ 个约束, 那么系统的自由度为 $3n-s$. 即每增加一个约束, 减少一个自由度.

利用拉格朗日乘子法可以计算得到约束力. 方法即是在 $L$ 中添加一个约束方程, 比如约束满足的方程是 $G(x_i, \dot{x}_i, t)$, 那么就让 $L’ = L + \lambda G$. 这样的话, 再计算出结果反代入约束中解出 $\lambda$ 即可.

虚功原理

对于一个约束: $f(\boldsymbol{r}, t) = 0$, 其对应的约束力 $\boldsymbol{N} = \lambda \nabla f(\boldsymbol{r}, t)$, 对一堆约束力, 有虚功原理:

\[\sum \lambda_i \nabla f_i \cdot \delta\boldsymbol{r} + \sum \boldsymbol{F}_j \cdot \delta \boldsymbol{r}_j = 0\]

(实功不一定为零, 只有稳定约束才是, 即 $-\lambda \frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d} t$)

达朗贝尔原理:

\[\sum(\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_{i}) = 0\]

刚体

欧拉角

转动矩阵: (绕的始终是随体坐标系)

进动: (绕 $z$)

\[D = \left(\begin{array}{lll} \cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\]

章动: (绕 $x$)

\[C = \left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)\]

自转: (绕 $z$)

\[B = \left(\begin{array}{lll} \cos\psi & \sin\psi & 0\\ -\sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\]

上课时候用的转动矩阵顺序是 $A = BCD$

动力学方程

推导欧拉运动方程的时候, 除了矢量法 (emm… 几何不太好, 所以不会); 可以使用代数一点的方法来计算:

对基底的变换来做. (刚体坐标系)

\[(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_0) \mathrm{d} t = \boldsymbol{R}^{- 1}(\boldsymbol{R} (t + \mathrm{d} t) - \boldsymbol{R} (t)) \boldsymbol{r} \Rightarrow (\boldsymbol{\omega} \times) = \boldsymbol{R}^{- 1} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t}\]

(地面坐标系)

\[\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \mathrm{d} t = (\boldsymbol{\omega}\times) \boldsymbol{R} \boldsymbol{r}_0 \mathrm{d} t = (\boldsymbol{R} (t + \mathrm{d} t) - \boldsymbol{R} (t)) \boldsymbol{r}_0 \Rightarrow (\boldsymbol{\omega}\times) = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{R}}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{R}^{- 1}\]

一些更加有用的东西: (是指更多用来算的东西, 不是说好不好用)

\[\boldsymbol{J} = \sum m_i (\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{r}_i^2 -\boldsymbol{r}_i(\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{r}_i))\] \[\boldsymbol{I}_{ij} = \int_V \rho(r^2\delta_{ij} - x_ix_j)\mathrm{d}V\]

中心力场

比内方程:

\[h^2u^2(\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d} \phi^2} + u) = -\frac{F}{m'}\]

其中 $h$ 为角动量, $u = \frac{1}{r}$, 其实证明并不是很难, 关键就在于如何把 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} \rightarrow \mathrm{d}\phi$, 就是利用角动量守恒以及来改变求导的底.

(为了防止忘记一些结论: $r = \frac{p}{1-\varepsilon \cos\phi}$, 上面的 $p$ 叫做焦点参数, $\varepsilon$ 叫做离心率. )

Exercise

  • 坐标系及其变换

    写出运动坐标

    写出坐标变换

  • 利用虚功原理计算广义力
    虽然耍流氓的方式就是, 简单的问题全部用牛顿法算一遍, 然后检验.
    需要注意的是, 对于虚功原理, 需要确认作用力和自由的坐标.
    (虽然不知道这样是否严谨, 但是如果想要得到约束力的话, 就要破坏约束力对应的约束, 使其重新变成一个自由坐标, 但是破坏之后, 对应的运动约束应该是什么样的, 就有点不好搞了. )
    (所以最理想的方式还是 $\lambda \nabla g$ 的形式. )

  • 计算 $L$ 以及通过 $L$ 来计算运动方程.
    这个就… 直接 $L = T - V$ 来算就好了. 算的时候注意有没有把一些已经存在的, 显而易见的约束给不小心代入了. 比如 $x^2 + y^2 = r^2$ 直接带掉了之类的. 代入了之后可能会忘了, 导致求约束的时候自己给忘了.

  • 欧拉角的转动
  • 刚体
    (一个流氓的办法: 如果算不来刚体的转动结果, 没准直接把刚体看作是质点组, 没准估计算得出来. 虽然是下策. )

附录: 曲线坐标系

(别问我为何要这样, 明明考试前还要这般作死. 因为应该是考后写的. )

基矢

将向量用 $\boldsymbol{r} = x e_x + y e_y + z e_z$ 来表示. 对于一个坐标系 $(x^1, x^2, x^3)$, 用 $\boldsymbol{r} = x(x^i) e_x + \cdots$ 的形式来表示.

这样的好处是在进行坐标变换的时候, 只需要对基底进行变换即可. 比如在计算转动系的欧拉运动方程的时候, 就是用这样的对基底进行变换的方法来解决问题. 而这个基底就可以和直角坐标系的坐标轴类比, (虽然它可能是弯的). 对于位移投影, 就是 $\nabla f \cdot \boldsymbol{e}_i$, 于是写成简单的形式就变成了: $\frac{\partial f}{\partial x_i} \boldsymbol{e}_i$.

定义基矢量: $e_i = \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x^i}$, 定义逆基矢: $e^i = \frac{e_j \times e_k}{e_1 \cdot (e_2 \times e_3)}$, 其中 $V = e_1 \cdot (e_2 \times e_3)$ 来对基矢归一化. 也同时等于 $V = e^1 \cdot (e^2 \times e^3)$. 并且有: $e^i = \nabla x^i$.

之所以定义逆基矢, 应该是为了有能得到像直角坐标系下正交归一的结果的想法. 即: \(\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j = \delta_{ij}\). 这样的结果.

度规

定义度规系数:

\[g_{ik} = e_i \cdot e_k = g_{ki}, g^{ik} = e^i \cdot e^k = g^{ki}\]

度规张量:

\[G = g_{ik} e^i e^k = g^{ik} e_i e_k\]

爱因斯坦约定: (稍微和平时讲的有点点不一样)
一对求和指标总是一上一下

用前面定义的基矢量:

\[\mathrm{d} x^i e_i = \mathrm{d} x_j e^j \Rightarrow \mathrm{d} x^i = \mathrm{d} x_j g^{ij}, \mathrm{d} x_j = \mathrm{d} x_i g_{i j} \Rightarrow g^_{jk}g_{ik} = \delta_i^j\]

剩下的?

嗯, 之后再写吧… (逃)

毕竟摆烂更重要