理论力学 - 期中
这必须感谢大一的力学课, 目前学到的东西基本在赵爹课上都有讲过.
只是讲得更加细致一些.
数学
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泰勒展开:
f(x0+x)=k=0∑∞k!f(k)(x−x0)k
- ex=∑k=0∞k!xk
- sinx=∑k=0∞(−1)k(2k+1)!x2k+1
- 导数:
- ∂x∂f=∂y∂f∂x∂f: 链式法则
- ∂s∂f=∇f⋅ss: 方向导数
推广: ∇f=∂r∂f
- ∇: 三角算子, 需要了解它在不同坐标系下的表现, 注意其矢量性和算符性即可.
- ∇,∇⋅,∇×: 梯度, 散度, 旋度
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坐标系及其变换:
指标: (详细的操作可以去参考之前的笔记, 之后可能会有更新. 或者去找别的, 比如ustc (之前的笔记写得太水了, 还是不看了… ))
(注: 这里按照的是上面的 ustc 的规定. 可以看看下面的 附录: 曲线坐标系, 这里就不写了. )
牛顿
F=ma
写了公式之后剩下的基本就是数学了. 比如 a 不同坐标系下的展开.
比如展开完了之后的运算.
在 a 的展开里面, 主要就是对基底的求导:
虽然可以通过 e˙qj=∂t∂(hqj1∂qj∂ri)ei 来计算,
但是并不是很方便的感觉…
常见的有:
- 极坐标系 (柱坐标系): a=(r¨−rθ˙2)er+(r2θ¨+2r˙θ˙)eθ
- 球坐标系: 好复杂啊…
守恒定律
- 动量 dtdp=F
- 角动量 dtdL=r×F
- 动能 drdV=F
在拉格朗日方程里面, 守恒定律对应着运动积分:
- 可遗坐标:
∂q∂L=0⇔dtd(∂q˙∂L)=0
对应的 p=∂q˙∂L 为广义动量积分.
- 广义能量积分:
dtdH=−∂t∂L
拉格朗日
dtd(∂q˙i∂L)−∂qi∂L=0
或者写成最小作用量原理的形式:
S=∫t1t2Ldt⇒δS=0
利用 欧拉方程 (和 eiθ 那个不一样) 有:
δS=0⇔∂y∂F−dtd(∂y′∂F)
约束
对于 n 个质点的系统, 有 s 个约束, 那么系统的自由度为 3n−s.
即每增加一个约束, 减少一个自由度.
利用拉格朗日乘子法可以计算得到约束力. 方法即是在 L 中添加一个约束方程,
比如约束满足的方程是 G(xi,x˙i,t), 那么就让 L’=L+λG.
这样的话, 再计算出结果反代入约束中解出 λ 即可.
虚功原理
对于一个约束: f(r,t)=0,
其对应的约束力 N=λ∇f(r,t),
对一堆约束力, 有虚功原理:
∑λi∇fi⋅δr+∑Fj⋅δrj=0
(实功不一定为零, 只有稳定约束才是,
即 −λ∂t∂fdt)
达朗贝尔原理:
∑(Fi−mir¨i)=0
刚体
欧拉角
转动矩阵: (绕的始终是随体坐标系)
进动: (绕 z)
D=⎝⎛cosϕ−sinϕ0sinϕcosϕ0001⎠⎞
章动: (绕 x)
C=⎝⎛1000cosθ−sinθ0sinθcosθ⎠⎞
自转: (绕 z)
B=⎝⎛cosψ−sinψ0sinψcosψ0001⎠⎞
上课时候用的转动矩阵顺序是 A=BCD
动力学方程
推导欧拉运动方程的时候, 除了矢量法 (emm… 几何不太好, 所以不会);
可以使用代数一点的方法来计算:
对基底的变换来做. (刚体坐标系)
(ω×r0)dt=R−1(R(t+dt)−R(t))r⇒(ω×)=R−1dtdR
(地面坐标系)
ω×rdt=(ω×)Rr0dt=(R(t+dt)−R(t))r0⇒(ω×)=dtdRR−1
一些更加有用的东西: (是指更多用来算的东西, 不是说好不好用)
J=∑mi(ωri2−ri(ω⋅ri))
Iij=∫Vρ(r2δij−xixj)dV
中心力场
比内方程:
h2u2(dϕ2d2u+u)=−m′F
其中 h 为角动量, u=r1, 其实证明并不是很难, 关键就在于如何把
dtd→dϕ,
就是利用角动量守恒以及来改变求导的底.
(为了防止忘记一些结论: r=1−εcosϕp,
上面的 p 叫做焦点参数, ε 叫做离心率. )
Exercise
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坐标系及其变换
写出运动坐标
写出坐标变换
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利用虚功原理计算广义力
虽然耍流氓的方式就是, 简单的问题全部用牛顿法算一遍, 然后检验.
需要注意的是, 对于虚功原理, 需要确认作用力和自由的坐标.
(虽然不知道这样是否严谨, 但是如果想要得到约束力的话,
就要破坏约束力对应的约束, 使其重新变成一个自由坐标, 但是破坏之后,
对应的运动约束应该是什么样的, 就有点不好搞了. )
(所以最理想的方式还是 λ∇g 的形式. )
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计算 L 以及通过 L 来计算运动方程.
这个就… 直接 L=T−V 来算就好了. 算的时候注意有没有把一些已经存在的,
显而易见的约束给不小心代入了. 比如 x2+y2=r2 直接带掉了之类的.
代入了之后可能会忘了, 导致求约束的时候自己给忘了.
- 欧拉角的转动
- 刚体
(一个流氓的办法: 如果算不来刚体的转动结果, 没准直接把刚体看作是质点组,
没准估计算得出来. 虽然是下策. )
附录: 曲线坐标系
(别问我为何要这样, 明明考试前还要这般作死. 因为应该是考后写的. )
基矢
将向量用 r=xex+yey+zez 来表示. 对于一个坐标系
(x1,x2,x3), 用 r=x(xi)ex+⋯ 的形式来表示.
这样的好处是在进行坐标变换的时候, 只需要对基底进行变换即可.
比如在计算转动系的欧拉运动方程的时候, 就是用这样的对基底进行变换的方法来解决问题.
而这个基底就可以和直角坐标系的坐标轴类比, (虽然它可能是弯的).
对于位移投影, 就是 ∇f⋅ei, 于是写成简单的形式就变成了:
∂xi∂fei.
定义基矢量: ei=∂xi∂r,
定义逆基矢: ei=e1⋅(e2×e3)ej×ek,
其中 V=e1⋅(e2×e3) 来对基矢归一化.
也同时等于 V=e1⋅(e2×e3).
并且有: ei=∇xi.
之所以定义逆基矢, 应该是为了有能得到像直角坐标系下正交归一的结果的想法.
即: eiej=δij. 这样的结果.
度规
定义度规系数:
gik=ei⋅ek=gki,gik=ei⋅ek=gki
度规张量:
G=gikeiek=gikeiek
爱因斯坦约定: (稍微和平时讲的有点点不一样)
一对求和指标总是一上一下
用前面定义的基矢量:
\mathrm{d} x^i e_i = \mathrm{d} x_j e^j \Rightarrow \mathrm{d} x^i = \mathrm{d} x_j g^{ij}, \mathrm{d} x_j = \mathrm{d} x_i g_{i j} \Rightarrow g^_{jk}g_{ik} = \delta_i^j
剩下的?
嗯, 之后再写吧… (逃)
毕竟摆烂更重要