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Drude 模型: 自由电子近似, 独立电子近似, 弛豫时间近似
Sommerfeld 模型: (Drude 模型 + ) Fermi-Dirac 分布, 独立电子近似, 量子化 条件
Drude 和 Sommerfeld 的电导形式 \(σ = \frac{n e^2 τ}{m}\) 形式相同, 意义不同: 量子平均自由程比经典大, 电导率依赖费米面形状, 费米面附近电子参与导电.
准经典近似: 波包 \(k + Δ k_{\ll \frac{1}{a}}, r + Δ r_{\gg a} →\) 准粒子
Boltzmann 方程: \(\frac{∂ f}{∂ t} = - \boldsymbol{v} ⋅ \frac{∂ f}{∂ \boldsymbol{r}} - \frac{1}{\hbar} \boldsymbol{F} ⋅ \frac{∂ f}{∂ \boldsymbol{k}} + b - a\)
不考虑温度和化学势梯度 \(\boldsymbol{F} = - e \boldsymbol{E}\) \(⇒\)电导率 \(σ = \frac{n e^2 τ}{m}\)
费米面测量: 回旋共振, dHvA (磁矩), SdH (电阻), 角分辨光电子谱
Hall 效应 \(R_{\mathrm{H}} = \frac{E_y}{j_x B} = \frac{ρ_{xy}}{B} = - \frac{1}{n e}\)
Bloch 定理
- \(φ(r + R_n) = \mathrm{e}^{i k R_n} φ(r) ⇔ φ(r) = \mathrm{e}^{i k r} u(r), u(R + r) = u(r)\)
  周期性在 e 指数还是后面那一项
- (能带理论) 的成立条件: 绝热, 单电子 (平均势) 近似, 周期势
近自由电子近似: 带宽 \(\propto 2 | ∫_0^T V(x) cos \frac{2 n π x}{T} |\)
紧束缚近似: \(E = E_{s} - J_0 - J_1 ∑ \mathrm{e}^{\boldsymbol{k} ⋅ \boldsymbol{R}_n}\) (最近邻格矢)
准经典 Bloch 电子
施主, 电子 (N), 受主, 空穴, (P) \(n p = N_- N_+ \mathrm{e}^{- \frac{E_- - E_+}{k_{\mathrm{B} T}}}\)
PN 结 (耗尽层) \(j = j_0 (1 - \mathrm{e}^{q (V - V_0) / k_{\mathrm{B}} T}\)
半导体电导率: \(σ = \frac{n e^2 τ_e}{m_e^{*} + \frac{n e^2 ρ τ_e}{m_{h}^{ *}}}\)
磁性: {顺, 抗, 铁, 亚铁, 反铁}磁性

Overview

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金属电子论

自由电子气 \(⇒\) 固体中电子状态 + 运动规律
经典理论: Drude 模型 (欧姆定律, Wiedemann-Franz 定律)
经典理论不能解释电子比热容和磁化率
Sommerfeld: 金属自由电子气的量子理论
电子气比热容
电导率 Hall 效应
金属导热
集体震荡, 屏蔽效应
Fermi 液体

自由电子气理论

Drude 模型: 金属中价电子看作是稀薄理想气体, 电子除了与离子实碰撞外不受其他相互作用, 相邻两次碰撞之间自由独立
- 自由电子近似: 除了碰撞外电子与离子实之间没有其他相互作用
- 独立电子近似: 电子之间没有相互作用
- 弛豫时间近似: 电子与离子实碰撞平均时间间隔 \(τ\), 并通过碰撞达到热平衡
自由电子近似和独立电子近似合起来变成 自由电子气 假设

Drude 模型微观推导电导率 \(σ = \frac{n e^2 τ}{m}\):
1. 电流密度: \(\boldsymbol{j} = - n e \boldsymbol{v}\)
2. 动量关系: \(m \boldsymbol{v} = - e \boldsymbol{E} τ\)
3. 欧姆定律: \(\boldsymbol{j} = σ \boldsymbol{E}\)
Drude 模型的缺点:
- 自由电子气在 Drude 模型中的热导率 \(\frac{κ}{σ T}\)
  推导过程
  1. (模仿普通气体) 自由电子气热导率: \(κ = \frac{1}{3} C_e v l\)
  2. 每个电子平均热动能 \(\frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T\)
  3. 高温下能量均分 \(\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T\)
  4. Delong-Petit 定律: \(C_e = \frac{3}{2} n k_{\mathrm{B}}\)
  5. 得到 \(\frac{κ}{σ T} = \frac{1}{3} \frac{C_e v l m}{n e^2 τ T} = \frac{1}{2} \frac{k_{\mathrm{B}} v l m}{e^2 τ T} = \frac{1}{2} \frac{k_{\mathrm{B}} m v^2}{e^2 T} = L = \mathrm{const}\),
    \(L = \frac{3}{2} \frac{k_{\mathrm{B}}^2}{e^2}\) Lorenz number
  - 会发现在室温时, 预测的热电场和热容巨大.
  - 金属中电子密度比普通气体要大 3 个数量级, 稀薄气体模型不适用

Sommerfeld 金属自由电子气量子理论

假设:

电子独立在晶格中运动
相当于求解周期性势场 (晶格) 中的电子运动方程
周期性边界条件的解
- 单电子的薛定谔方程: \(\left[ - \frac{\hbar^2}{2 m} ∇^2 + V \right] φ(r) = E φ(r)\)
- 本征函数 \(φ(r) = \frac{1}{\sqrt{L^3}} \mathrm{e}^{i \boldsymbol{k} ⋅ \boldsymbol{r}}\)
- 本征能量 \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m}\)
- 周期性边界条件 \(φ(r + L) = φ(r)\)
- 无限深势井 (边界条件) \(k_i = \frac{2 π}{L} n_i\)
电子状态和能量满足 量子化

Fermi-Dirac 分布 描述自由电子气的物理性质 (电子服从泡利不相容原理) \(f(E, T) = \frac{1}{\mathrm{e}^{(E - μ) / k_{\mathrm{B}} T} + 1}\).

(从 Maxwell-Boltzmann 分布变成了 Fermi-Dirac 分布)

DOS

在构型分布均匀的空间中计算分布密度

在这里是倒空间 \(k\) 空间, 倒格矢 \(k\) 所对应的空间体积为 \(\frac{(2 π)^3}{V}\), 通过 \(\mathrm{d} k\) 壳层对应的体积计算倒空间中的状态数 \(\mathrm{d} Z = 2 \frac{1}{(2 π)^3 / V} 4 π k^2 \mathrm{d} k\).

通过 \(k(E)\) 替换变为 \(\mathrm{d} Z = ω(E) \mathrm{d} E\).

不同维度的结论:

Dim	自旋	分布密度	\(∫ \mathrm{d} S\)	\(N(E)\)
1	2	\(\frac{L}{2 π}\)	\(2\)	\(\frac{L}{2 π} \sqrt{\frac{2 m}{E}}\)
2	2	\(\frac{S}{(2 π)^2}\)	\(2 π k\)	\(\frac{S m}{π \hbar^2}\)
3	2	\(\frac{V}{(2 π)^3}\)	\(4 π k^2\)	\(\frac{V}{π^2} \frac{\sqrt{2 E m^2}}{\hbar^{3}}\)

基态自由电子平均能量 \(\frac{3}{5} E_{\mathrm{F}}\)
- 总电子数 \(N = ∫ f(E, 0) ω(E) \mathrm{d} E = \frac{V}{3 π^2} (\frac{2 m E_{\mathrm{F}}}{\hbar^2})^{3/2}\)
- 于是可以解得 \(E_{\mathrm{F}} = \frac{\hbar^2}{2 m} (\frac{3 π^2 N}{V})^{2/3}\)
- 电子总能量 \(E = ∫_0^{∞} E f(E, 0) ω(E) \mathrm{d} E = \frac{V}{5 π^2} (\frac{2 m E_{\mathrm{F}}}{\hbar^2})^{3/2} E_{\mathrm{F}} = \frac{3}{5} N E_{\mathrm{F}}\)

费米面: 固体中 \(N\) 个自由电子, 按照泡利原理, \(N\) 个电子从低到高填充的 \(N\) 个量子态, 对应费米球: 半径 \(k_{\mathrm{F}} = \frac{\sqrt{2 m E_{\mathrm{F}}}}{\hbar}\).

推导

电子的能级 \(E(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m}\)

\(N\) 个电子, \(k\) 空间球内包含状态数 \(N = 2 \frac{V}{(2 π)^3} \frac{4}{3} π k_{\mathrm{F}}^3\)

物理量	结论
费米能	\(E_{\mathrm{F}} = \frac{\hbar^2 k_{\mathrm{F}}^2}{2 m}\)
费米球半径	\(k_{\mathrm{F}} = \frac{\sqrt{2 m E_{\mathrm{F}}}}{\hbar}\)
费米动量	\(p = \hbar k_{\mathrm{F}} = \sqrt{2 m E_{\mathrm{F}}}\)
费米温度	\(E_{\mathrm{F}} = k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{F}}, T_{\mathrm{F}} = \frac{E_{\mathrm{F}}}{k_{\mathrm{B}}}\)

化学势 \(μ(T) = E_{\mathrm{F}} \left[ 1 - \frac{π^2}{12} (\frac{k_{\mathrm{B}} T}{E_{\mathrm{F}}})^2 \right]\)
热容 \(C_{\mathrm{V}} = γ T + β T^3\)
- 电子比热 \(γ T\): \(C_e = \frac{N}{V} \frac{∂ E}{∂ T} = \frac{π^2}{2} \frac{n k_{\mathrm{B}}^2}{E_{\mathrm{F}}} T = γ T\)
- 晶格比热 \(β T^3\)

可以解释电子比热问题 \(C_e = \frac{N}{V} \frac{∂ E}{∂ T}\)

电导率 Hall 效应 (电子输运)

准经典近似: 用 \(k\) 附近的 \(Δ k\) 范围的平面波所组成的波包来描述电子在 外场中的运动, 电子的位置分布在波包中心附近 \(Δ r\) 的范围, \(Δ k\), \(Δ r\) 满足不确定性关系.
- 波包稳定性要求 \(Δ k \ll 1 / a\) (Brillouin 区的尺度)
- 输运自由程 \(Δ r \gg a\) (\(a\) 为晶格常数)
- 作用在电子的外场变换相对缓慢, 变化波长远大于 \(a\)
- 外场只引起波矢变化, 不破坏电子原有能谱
相当于是用准经典粒子近似波包
电导率公式 \(σ = \frac{n e^2 τ}{m}\)
推导
- 准经典近似电子输运 \(B = 0\)
  准经典粒子的运动反冲 \(\hbar \frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} t} = F = - e E\), 在弛豫时间 \(τ\) 后, 稳定有 \(δ k = k(τ) - k(0) = - \frac{e τ}{\hbar} E\).
- 计算的是 \(k\) 空间的位移 (波矢的重新分布), 对应实空间的速度, 稳定的体系表示稳定的电流.
- 散射:
  - 晶格振动
  - 晶格中的杂质, 缺陷
  - 漂移 + 无规则散射 (碰撞) \(⇒\) 定态
    电子在外场下被加速, 偏离平衡位置; 散射使得电子偏离定向运动: 能量耗散, 系统趋于平衡.
  这部分实在是有点课上学的太麻烦了, 不如粒子探测器的漂移速度 \(μ\) 讲得更容易理解.
- 波尔兹曼方程
  \[\frac{∂ f}{∂ t} = - \frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} t} ∇_k f - \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} ∇_r f + b - a\]
- 电导率公式 \(σ = \frac{n e^2 τ}{m}\)
  - 波尔兹曼方程的定态形式 \(- \frac{e E}{\hbar} ∇_k f = b 0 a\)
  - \(δ v = \frac{\hbar}{m} δ k = - \frac{e τ}{m} E\)
  - \(j = - n e δ v = \frac{n e^2 τ}{m} E = σ E\)
- 量子平均自由程比经典大 (形式相同, 意义不同)
- 电导率依赖费米面形状
- 弛豫时间反比散射概率的加权积分, 大角度散射对 \(τ\) 贡献大
- 费米面附近的电子参与导电
霍尔 (Hall) 效应: 电流 \(j\) 沿着 \(x\) 方向流经金属, 垂直表面加磁场, 会有 \(y\) 方向的电压信号 \(V_y\)
霍尔系数 \(R_{\mathrm{H}} = \frac{E_y}{j_x B} = - \frac{1}{n e}\)
相关方程
- 运动方程

能带理论

Bloch 定理
近自由电子近似
紧束缚近似
能带对称性, 能带图
Bloch 电子的准经典运动
导体绝缘体和半导体

能带理论的前提条件:

绝热近似: 在哈密顿量中仅考虑电子项, 忽略离子的动能 (或者说, 从多粒子体系变成多电子体系, 仅考虑单一粒子)
电子质量远小于离子质量, 电子运动速度远大于离子运动速度.
单电子近似: 哈密顿量中的电子相互作用项用平均场近似
周期势: 晶格周期性假设

求解方法:

	近自由电子近似	紧束缚近似
波函数	\(φ_k^0(r) = \frac{1}{\sqrt{V}} \mathrm{e}^{i k r}\)	\(φ(r) = ∑_l \mathrm{e}^{i k R_l} φ(r - R_l)\)
势能	\(V(r) = \left\langle V \right\rangle + Δ V(r)\)	\(V(r) = V(r - R_n) + ∑_{l ≠ n} V(r - R_l)\)
求解方法	微扰	近似: 正交, 最近邻

Bloch 定理

Bloch 定理: 周期性势的薛定谔方程的解满足 \(φ(\boldsymbol{r} + \boldsymbol{R}_n) = e^{i \boldsymbol{k} ⋅ \boldsymbol{R}_n} u_k(\boldsymbol{r})\) (Bloch 函数 \(u_k(\boldsymbol{r})\)). 或者换一个表述: 当平移晶格矢量 \(\boldsymbol{R}_{l}\) 的时候, 同一能量本征值的波函数只增加一个相位因子.

其中波矢量 \(\boldsymbol{k}\) 对应于平移算符本征值的量子数. 表示不同原胞之间电子波函数的相位变化, 不同的 \(\boldsymbol{k}\) 对应不同的状态, 与波函数, 能量本征值相关. 取值范围在第一布里渊区中.

\(\hbar \boldsymbol{k}\) 准动量 (晶体动量), (自由电子的动量本征值, 但是不是 Bloch 电子的真实动量)
Bloch 定理是晶格平移对称性的结果, 是普遍性的定理
和自由电子平面波相比, 可以看作是被晶格周期性函数调幅的平面波
称 Bloch 电子 (真的是很喜欢取名字啊… )

退化:

自由电子: \(φ(r) = A \mathrm{e}^{i \boldsymbol{k} ⋅ \boldsymbol{r}}\) (势能为常数)
孤立电子: \(φ(r) = C u(\boldsymbol{r})\)

电子能带的形成

原子与原子结合称固体时, 原子之间存在相互作用的结果, 周期性势场不是电子具有能带结构的必要条件.

布洛赫波与格波

电子存在无穷多能带, 声子只存在有限能带
格波不是标准调幅平面波
格波不同于概率波

平面波方法, 近自由电子近似

近自由电子近似:
周期性势起伏小, 起伏看作微扰: \(V(r) = \left\langle V \right\rangle + Δ V\). 同一能带的 \(k\) 的 Bloch 函数是倒格子的周期性函数: \(φ_k(k) = \frac{1}{\sqrt{V}} ∑_G C(k + G) \mathrm{e}^{i (G + k) r}\).

计算的时候取有限个平面波相叠加, 计算本征值.

(死去的量子力学的微扰论在攻击我… )

紧束缚近似

能带函数: \(E_s (\boldsymbol{k}) = E_s - J_0 - J_1 ∑ \mathrm{e}^{i \boldsymbol{k} ⋅ \boldsymbol{R}_n}\), \(\boldsymbol{R}_n\) 为最近邻格矢
计算 \(E_{s}\) 可以得到带顶, 带底, 带宽

Bloch 电子的准经典运动

\(v(k) = \frac{1}{\hbar} ∇_k E(k)\)
有效质量 \(\frac{1}{m_{ij}} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{∂^2 E(k)}{∂ k_i ∂ k_j}\)
\(F = \hbar \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{k}}{\mathrm{d} t}\), 准动量 \(\hbar \boldsymbol{k}\)

导体, 绝缘体, 半导体

完全充满电子的能带不能形成电流
满带: 电子填满,
导带: 部分空

近满带: 少数空

固体的导电性

输运问题

强度量的空间不均匀	输运方程	广延量的流动
温度	\(\boldsymbol{j}_u = - K ∇ T\)	热流
浓度	\(\boldsymbol{j}_n = - D ∇ n\)	粒子流
电势	\(\boldsymbol{j}_e = - σ ∇ \varphi\)	电流

相当于是要计算 \(K, D, σ\) 的晶体内禀性质

金属: Boltzmann 方程, 费米面, 电子回旋共振, de Hass 震荡, AB 效应
半导体: 能带结构, 有效质量近似, 载流子统计分布, 输运 PN 结, MOSFET, Quantum Hall

金属

Boltzmann 输运方程

Boltzmann 方程
\[\frac{∂ f}{∂ t} = - \boldsymbol{v} ⋅ \frac{∂ f}{∂ r} - \frac{1}{\hbar} \boldsymbol{F} ⋅ \frac{∂ f}{∂ \boldsymbol{k}} + b - a\]
- 定态: \(\boldsymbol{v} ⋅ \frac{∂ f}{∂ r} + \frac{1}{\hbar} \boldsymbol{F} ⋅ \frac{∂ f}{∂ \boldsymbol{k}} = b - a\)
- 纯粹电导: \(\boldsymbol{F} = - e \boldsymbol{E} ⇒ - \frac{e \boldsymbol{E}}{\hbar} ⋅ \frac{∂ f}{∂ \boldsymbol{k}} = b - a\)
电导 \(σ = \frac{n e^2 τ(E_{\mathrm{F}})}{m^{*}}\)
弛豫时间项: \(\frac{1}{τ(k)} = \frac{2}{(2 π)^3} ∫ W(\boldsymbol{k}, \boldsymbol{k}') (1 - cos η) \mathrm{d} k'\), 受到散射影响:
- 晶格中杂质, 缺陷 (温度无关)
- 晶格振动 (温度相关)
  - 高温: \(ρ ∼ T\)
  - 低温: \(ρ ∼ T^5\)
    考虑电子关联和磁性杂质影响: \(ρ(T) = ρ_0 + a T^2 + c_m ln \frac{μ}{T} + b T^5\)

费米面测量

回旋共振
dHvA (de Hass-van Alphen effect): 测磁矩随磁场的变化
一个简单的解释
- 磁场下能级合并至朗道能级, 随着外场的变化而变化
(报告不能白做… )

实际上就是固定一个角度 (磁场相对于晶轴), 然后改变磁场大小, 通过傅里叶变换得到频谱 (变换周期与 \(1 / B\) 的关系).
SdH (Shubnikov-de Haas effect): 同 dHvA, 只不过测量的是电导率随磁场的变化
ARPES (Angle resolved photoemission spectroscopy) 角分辨光电子谱

半导体

电阻率介于金属 (\(ρ < 10^{-6} μ Ω ⋅ \mathrm{cm}\) 和绝缘体 (\(ρ > 10^{12} μ Ω ⋅ \mathrm{cm}\)) 的导电材料称为半导体
经典元素半导体具有金刚石结构, 化合物半导体大多具有 ZnS 结构, 共价结合特征
半导体的电阻随着温度降低而增大, 金属电阻随温度降低而降低
粒子探测器的半导体耗尽层
- 降温可以使得耗尽层扩大
- 或者说降温可以减少本征载流子, 所以电阻变大

能带结构

一个完全充满电子的能带不能形成电流
满带: 电子填满能带中所有的能态
导带: 一个能带自由部分能态填有电子, 其余能态为没有电子填充的空态
近满带: 一个能带绝大部分能态已填有电子, 只有少数能态是空的
施主杂质, 施主能级: 为导带提供电子, N 型
受主杂质, 受主能级: 为价带提供空穴, P 型

粒子探测器杀疯了…

我觉得还是粒子探测器讲得稍微清晰一些, 虽然两个我都学得迷迷糊糊的, 但是看了一下具体的探测器的结构, 哦, 大概能理解是个什么东西. 没有实例只是堆概念的课程真是让人很累. emm… 大概是我的问题, 就像是一个库 (编程里面), 把所有的 API 都提供了, 但是没有给你提供事例代码一样痛苦.

本征, 杂质激发

一般半导体中导带带底能量与费米能之差远远大于 \(k_{\mathrm{B}} T\), 价带带顶能量与费米能之差远远大于 \(k_{\mathrm{B}} T\).
导带电子分布: \(f(E) = \frac{1}{\mathrm{e}^{(E - E_{\mathrm{F}}) / k_{\mathrm{B}} T} + 1} ≈ \mathrm{e}^{- (E - E_{\mathrm{F}}) / k_{\mathrm{B}} T}\)

价带空穴分布: \(1 - f(E) = 1 - \frac{1}{\mathrm{e}^{(E - E_{\mathrm{F}}) / k_{\mathrm{B}} T} + 1} ≈ \mathrm{e}^{- (E_{\mathrm{F}} - E) / k_{\mathrm{B}} T}\)

接近经典 Boltzmann 分布, 因为浓度很低, 可以不考虑泡利不相容原理.

有 \(n p = N_- N_+ \mathrm{e}^{- \frac{E_- - E_+}{k_{\mathrm{B}} T}}\).
对于本征激发而, \(n = p ⇒ E_{\mathrm{F}} = \frac{1}{2} (E_- + E_+) + \frac{3}{4} k_{\mathrm{B}} T ln \frac{m_h}{m_e} \overset{T = 0 \mathrm{K}}{=} \frac{1}{2} (E_- + E_+)\).
对于杂质激发
- 低温区: 杂质激发占主导
- 中间区: 温度是的晶格散射增加, 电导率下降
- 高温区: 本征激发占主导

PN 结

两块半导体接触前, N 区费米面高于 P 区
两者接触, 使得空穴和电子向对方区域扩散, 形成内建电场 (无载流子耗尽层)
耗尽层中本征载流子电流: \(j = - j_0 (\mathrm{e}^{q V / k_{\mathrm{B}} T} - 1), j_0 = q(\frac{D_n}{L_n} n_p^0 + \frac{D_p}{L_p} p_n^0)\)
正向电压使得内建电场抵消, 电流增加, 总电流与少子浓度正相关
反向电压使得势垒提高阻止通过 (只有 N 区空穴, P 区电子可以通过).
粒子探测器
参见高纯锗探测器. 为什么要用高纯锗探测器而不是普通的制备工艺.

三极管

磁性理论

固体磁性:
1. 顺磁性
2. 抗磁性
3. 铁磁性
4. 亚铁磁性
5. 反铁磁性
角动量
- 电子轨道磁矩: 电子绕原子核产生 \(\boldsymbol{μ}_L = - \frac{e}{2 m} \boldsymbol{L}\)
- 电子自旋磁矩: 电子自旋产生 \(\boldsymbol{μ}_S = - \frac{e}{m} \boldsymbol{S}\)
- 总角动量 (死去的原子物理知识… )
  - \(L-S\) 耦合
  - \(J-J\) 耦合

习题

金属电子论

计算费米能和费米温度 \(E_{\mathrm{F}} = \frac{\hbar^2}{2m} (3 π^2 n)^{2/3}\)
核心是计算数密度:
- 计算数密度 \(n = \frac{ρ}{m}\)
- 得到费米能 \(E_{\mathrm{F}} = \frac{\hbar^2}{2 m } (3 π^2 n)^{2/3}\)
- 费米温度 \(T_{\mathrm{F}} = E_{\mathrm{F}} / k_{\mathrm{B}}\)
计算电导率 \(σ = - \frac{e n v}{E}\)
核心是计算 \(v\):
- 电子漂移速度方程 \(m (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{τ}) v = - e E\)
- 考虑外场 \(E = E_0 \mathrm{e}^{- i ω t}\), 代入猜测的解 \(v = v_0 \mathrm{e}^{- i ω t}\), 可以得到 \(v = - \frac{1 + i ω τ}{1 + (ω τ)^2} \frac{e τ}{m} E\).
- 电导率 \(σ(ω) = \frac{j}{E} = - \frac{e n v}{E}\)
最大表面电阻
边长为 \(L\), 厚度为 \(d\), 电阻率为 \(ρ\) 的方形薄片. 从薄片两边测到的表面电阻 \(R_{\mathrm{sq}} = \frac{ρ L}{L d} = \frac{ρ}{d}\).

假设表面散射决定碰撞时间 \(τ ≈ d / v_{\mathrm{F}}\):
- 电导率 \(σ = \frac{n e^2 τ}{m}\)
- \(R_{\mathrm{sq}} = \frac{1}{σ d} = \frac{m v_{\mathrm{F}}}{n d^2 e^2}\)
- \(m v_{\mathrm{F}} = \sqrt{2 m E_{\mathrm{F}}} = \hbar (3 π^2 n)^{1/3} ≈ \hbar n^{1/3}\)
- 单原子厚度的薄片 \(n d^3 = 1 ⇒ R_{\mathrm{sq}} ≈ \hbar / e^2\)

能带理论

近自由电子近似计算能带间隙宽度
差不多和周期性势场的求解过程类似:
- 在势周期 \([-T/2, T/2]\) 里面把势展开为傅里叶级数: \(V(x) = V_0 + ∑_{n = 1}^{∞} A_n cos \frac{2 π n x}{T} + B_n sin \frac{2 π n x}{T}\), \(A_n = ∫_{-T/2}^{T/2} V(x) cos \frac{2 π n x}{T}\).
  一般可以通过对称性来减少计算
- \(Δ E_1 = 2 |V_1|\), \(Δ E_2 = 2 | V_2 |\)
紧束缚近似计算能带函数
- 能带表达式 \(E_s(\boldsymbol{k}) = E_s - J_0 - J_1 ∑ \mathrm{e}^{i \boldsymbol{k} ⋅ \boldsymbol{R}_n}\)
- 其中 \(\boldsymbol{R}_n\) 为最近邻格矢
  对于面心立方: \((± \frac{a}{2}, ± \frac{a}{2}, 0), (± \frac{a}{2}, 0, ± \frac{a}{2}), (0, ± \frac{a}{2}, ± \frac{a}{2})\).
  
  对于体心立方: \((± a, 0, 0), (0, ± a, 0), (0, 0, ± a)\).
  
  对于一维单原子链: \(± a\).
- 代入能带表达式, 可以得到
  对于面心立方: \(E_s - J_0 - 4 J_1 \left[ cos \frac{k_x a}{2} cos \frac{k_y a}{2} + cos \frac{k_y a}{2} cos \frac{k_z a}{2} + cos \frac{k_z a}{2} cos \frac{k_x a}{2} \right]\)
  
  对于体心立方: \(E_s - J_0 - 2 J_1 \left[ cos \frac{a k_x}{2} + cos \frac{a k_y}{2} + cos \frac{a k_z}{2} \right]\)
```
Assuming[Element[{a, kx, ky, kz}, Reals],
  Total[Exp[I * Dot[{kx, ky, kz}, #]] & /@ ({
    {a, a, 0}, {-a, a, 0}, {-a, -a, 0}, {a, -a, 0},
    {0, a, a}, {0, -a, a}, {0, -a, -a}, {0, a, -a},
    {a, 0, a}, {-a, 0, a}, {-a, 0, -a}, {a, 0, -a}
  }/2)] // FullSimplify]
```
  对于一维单原子链: \(E_s - J_0 - 2 J_1 cos k a\)
从能带函数知道:
- 带顶能量: 使得能带表达式最大的情况
  对于面心立方 \((2 π / a, 0, 0) ⇒ E_s - J_0 - 4 J_1\)
- 带底能量:
  对于面心立方 \((0, 0, 0) ⇒ E_s - J_0 - 12 J_1\)
- 有效质量: \(\frac{1}{m_{ij}} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{∂^2 E(k)}{∂ k_i ∂ k_j}\)
- 态密度
  一维 \(n(E) = \frac{L}{2 π} | \frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d} E} |\)
- 费米能
  - 计算粒子数 \(N = ∫_0^{k_{\mathrm{F}}} ρ(k) \mathrm{d} k\)
  - 费米能公式 \(E_{\mathrm{F}} = \frac{\hbar^2}{2 m} (3 π^2 n)^{2/3}\)

固体导电性

计算回旋频率 \(ω_{\mathrm{c}} = \frac{e B}{m}\)
PN 结伏安特性曲线: \(j = j_0 (1 - \mathrm{e}^{- q (V - V_0) / k_{\mathrm{B}} T})\)
三极管工作原理: 通过基极补充耗尽层中的电子/空穴

Others

有一种因为学不会所以愚蠢地抄写的学生的感觉.