About

完全没学明白的课… 和我做的重叠有点少… 也听不懂. 所以我觉得 AI 真是好用呢.

自然单位制

物理量说明
光速 \(c = 1\)
\(\hbar = 1\)
\(k = 1\)

目标是只剩下 eV (电子伏特) 一个单位

  • \(\hbar c = 197 \mathrm{MeV}\ \mathrm{fm}\)
  • \(1 \mathrm{MeV}^{-1} = 6.582 × 10^{-22}\ \mathrm{s}\)

粒子基本性质

  • 质量 \(E^{2} - p^{2} = m_{0}^{2}, E > 0\) (洛伦兹不变量)
  • 宽度寿命
    • 衰变宽度 \(Γ\) 为平均寿命 \(τ\) 的倒数, 即 \(τ = \frac{1}{Γ}\)
    • \(N(t) = N_{0} \mathrm{e}^{-t/τ}\)
    • 不稳定粒子衰变到某几个衰变道的概率 \(P(A → f_{i}) = Γ_{i} / Γ\)
    Application
    • 通过衰变宽度计算平均寿命

      顶夸克的衰变宽度是 \(1.42\ \mathrm{GeV}\), 试计算其静止坐标系的平均寿命.

      \[τ = \frac{1}{Γ} = \frac{1}{1.42} \mathrm{GeV}^{-1}\]

    • 利用径迹长度测寿命 \(L = τ v / \sqrt{1 - v^{2}}\)

      \(1\ \mathrm{GeV}\) \(μ\) 在衰变前的平均径迹长度

      \[L = \frac{p}{m} τ\]

  • 电荷
  • 自旋 \(S\)
    • 费米子 (自旋为半整数的粒子 \(1/2, 3/2, \cdots\))
    • 玻色子 (自旋为整数的粒子 \(0, 1, 2, \cdots\))
  • 角动量
  • 螺旋度: 自旋角动量在运动方向上的投影
  • 相互作用媒介子
    • 规范玻色子
      • 传递相互作用的媒介粒子: 光子, \(W^{±}, Z\) 玻色子和 8 种胶子,
      • 自旋为 1
      • 一共有 1+3+8=12 个规范玻色子
    • 费米子
      • 轻子和夸克
      • 自旋为 1/2
    • 希格斯粒子
      • 自旋为 0 的标量粒子
  • 同位旋 (Isospin)
    • 强相互作用下的守恒量, 所有强子都具有确定的同位旋
    • 电磁相互作用中, 同位旋对称性破坏, \(|\Delta I| = 0, 1\)
  • 奇异数 (Strangeness Number)
    • 强相互作用和电磁相互作用中都守恒
    • 强子的盖尔曼-西岛关系

      \[Q = I_{3} + \frac{Y}{2},\ Y = b + S\]

  • 重子数 (Baryon Number)
  • 轻子数 (Lepton Number)
  • \(J^{PC}\)
    粒子\(J^{PC}\)性质分类
    \(π, K, η\)\(0^{-+}\)赝标量介子
    \(ρ, ω, φ, J/ψ, Γ\)\(1^{–}\)矢量介子
    \(p, n\)\(1/2^{+}\)重子
    \(Δ\)\(3/2^{+}\)重子激发态
Application
  • 反应截面
    • 反应截面 \(1\ \mathrm{GeV}^{-2} = 0.389\ \mathrm{mb}\)
  • 反应是否能够发生
    • \(π^{0} → e^{+} e^{-}\)
常见粒子属性
粒子电荷质量自旋同位旋奇异数重子数轻子数宇称 \(J^{PC}\)
光子0\(< 1 × 10^{-18} \mathrm{eV}\)10000\(1^{–}\)
电子-1\(0.511 \mathrm{MeV}\)1/20001
\(μ\) 子-1\(105.7 \mathrm{MeV}\)1/20001
\(π\) 介子\(140 \mathrm{MeV}\)01000\(0^{-+}\)
质子 (\(n\))\(938 \mathrm{MeV}\)1/21/2010
顶夸克 (\(t\))\(173 \mathrm{GeV}\)1/2001/30

Memonic

  • 轻子
  • 重子

运动学变换

洛伦兹变换

  • 洛伦兹不变量

    \[\left(\begin{matrix}E' \\ p_{x}' \\ p_{y}' \\ p_{z}' \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}γ & - v γ & 0 & 0 \\ - v γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} E \\ p_{x} \\ p_{y} \\ p_{z} \end{matrix}\right)\]

  • 速度关系

    \[v = p / E = \frac{\sqrt{E^{2} - m_{0}^{2}}}{E}\]

  • 多粒子系统不变量

    \[\left( ∑_{i} E_{i} \right)^{2} - \left( ∑_{i} p_{i} \right)^{2} = \mathrm{constant}\]

    Application
    • 两粒子碰撞质心坐标系
      • 对撞质心系能量 \(E_{\mathrm{cm}}^{2} = 4 E_{1} E_{2}\)
      • 固定靶质心系能量 \(E_{1}' = \frac{2 E_{1}^{2}}{m_{2}}\)
    • 两粒子碎裂

      \(π^{0} → 2 γ\), 两个末态光子的能量 \(E_{1}\) 和 \(E_{2}\):

      • 飞行夹角为 \(cos θ = 1 - \frac{m_{π^{0}}^{2}}{2 E_{1} E_{2}}\)
      • 最大张角和最小张角
    • 散射和微分截面
      • \(D(θ) = \frac{\mathrm{d}σ}{\mathrm{d}Ω} = \left( \frac{Z e}{4 E sin^{2} (θ/2)} \right)^{2}\)
      • 总截面为分截面的和 \(σ_{\mathrm{tot}} = ∑_{i} σ_{i}\)
      • 反应黄金规则 \(W = 2 π \left| M_{if} \right|^{2} ρ_{f}\)
    • 微分截面洛伦兹变换

      \[D(θ) = \frac{\mathrm{d}σ}{\mathrm{d}Ω} = \frac{\left| \boldsymbol{p} \right|^{3}}{γ_{c} \left| \boldsymbol{p}' \right|^{3} \left( 1 + \frac{v_{c}}{v'} cos θ' \right) } \left( \frac{\mathrm{d}σ}{\mathrm{d}Ω} \right)'\]

    • 末态相空间
    • 散射能量计算

      Algorithm

      1. 计算质心系洛伦兹不变量 \(s^{2}\) (往往质心系中 \(p = 0\) 容易计算)
      2. 末态能量 \(E_{1} = \frac{s^{2} + M_{1}^{2} - M_{2}^{2}}{2 s}\)

反应阈能

Feynman 图

费曼规则

  1. 时间轴从左到右
  2. 外线 (初态和末态)
    • 初态 \(\left\{ \mathrm{PARTICLE}_{\mathrm{i}} \right\} → \left\{ \mathrm{PARTICLE}_{\mathrm{f}} \right\}\) 末态
    • 初态和末态的粒子作为外线
    • 实线表示夸克和轻子
    • 波浪线表示入射矢量玻色子
    • 带箭头的实线表示费米子场
    • 虚线 Higgs 粒子
  3. 内线 (传播子)
    • 连线: 相互作用
      • 电磁相互作用: \(γ\) (波浪线)
      • s-通道: 初态粒子合并成一个中介, 再分裂
      • t-通道: 初态粒子交换一个中介, 各自飞走
      • 强相互作用: 螺旋线 (胶子 \(g\))
      • 弱相互作用: 波浪线 \(W^{±}\) 标注电荷流向
    • 顶点: 守恒律
      • 电荷守恒 (进=出)
      • 味守恒 (强力和电磁力不改变粒子的味道)
  4. 费米子线沿箭头方向连续不间断

基本相互作用

相互作用强度力程媒介子参与作用粒子束缚态例子
强相互作用\(α_{s} ∼ 1\)\(10^{-15}\ \mathrm{m}\)胶子夸克, 胶子强子
电磁作用\(α = 1/137\)\(F \propto 1/r^{2}\)光子带电粒子原子, 分子
弱相互作用\(10^{-5}\)\(< 10^{-17}\ \mathrm{m}\)\(W^{±}, Z^{0}\)夸克, 轻子无
引力\(10^{-39}\)\(F \propto 1/r^{2}\)引力子所有粒子

对称性和守恒量

守恒量计算

守恒律

强子与量子电动力学

强子

  • 介子: \(π, K, η, η', ρ, K^{*}, ω, φ, D, J/ψ, \cdots\)
  • 重子: \(p, n, Λ, Σ, Ξ, Δ, Ω, \cdots\)
  • 不能通过强相互作用衰变的粒子称为稳定粒子
  • 可以通过强相互作用衰变的粒子称为共振态
  • 汤川耦合与 \(π\) 介子

轻子

  • 轻子: \(e^{-}, ν_{e}, μ^{-}, ν_{μ}, τ^{-}, ν_{τ}\)

OZI 规则

  • 描述: 在强子反应过程中, 如果价夸克的的费曼图被断成互不相连的两部分, 则该过程的反应几率被大大压低
  • 解释: 胶子带颜色, 介子不带, 故单个胶子不能连接湮灭图, 故衰变至少需要三个胶子参与, 所以是高阶图, 量级小

电弱统一理论与标准模型

标准模型

  • 标准模型: 电弱统一理论+量子色动力学
    • 粒子对应场 (场是物质存在的基本形式)
    • 场用复数量描述
    • 场的基态是能量最低的状态
    • 粒子的衰变
    • 相互作用通过场 (粒子) 来传递

中微子振荡

  • t 时刻出现缪子中微子和电子中微子的概率

    \[P_{eμ} = sin^{2} (2 θ) sin^{2} \left( \frac{Δ m^{2} t}{4 E} \right)\]

    \[P_{ee} = 1 - P_{eμ}\]

    故可以通过 \(Δ m^{2} = \frac{4 E}{L} \mathrm{arcsin} \sqrt{1 - P_{ee}}\) 估算.

电弱统一与 Higgs

  • Higgs 机制的作用
    • 赋予 W, Z 玻色子质量, 保持光子无质量
    • 赋予费米子质量, 联系 Yukawa 耦合
  • Higgs 玻色子产生机制:
    • 强子对撞机上单个 Higgs: 胶子聚变
    • 正负电子对撞机: Higgs 韧致辐射