Mechanics Preparing for Mid-Term Death

再回首, 背影已远走
再回首, 眼泪朦胧
…
曾经在幽幽暗暗反反复复中追问
然后才知平平淡淡从从容容才是真

开始回顾一下我学过的力学, 时间有限, 还是先想到哪里就是哪里. 然后在做一点补充(看笔记).

$\vec{F} = m \vec{a}$

牛顿是$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$ 这样写的, 至于后面是Match写成了$\vec{F} = m \vec{a}$的形式.

这样的形式实际上在相对论情况下也不是不能用, 只要把质量从静止质量改成动质量就好: $m = \gamma m_0$ 其中里面的$\gamma$是相对论的一个系数.

相对论洛伦兹变换: (沿$x$轴方向运动)

\[x' = \gamma (x - u t)\\ y' = y\\ z' = z\\ t' = \gamma (t - \frac{u x}{c^2})\\ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\]

类似的, 对于转动的物体, 可以有相同的方程:
$\vec{M} = \mathcal{I} \ddot{\theta}$ (其中$\mathcal{I}$是转动惯量, 是一个二阶张量, 实际上就是一个 $\int (\mathcal{I} - \vec{r} \otimes \vec{r}) \mathrm{d} V$ 的积分.

牛顿定律满足时间反演, 线性和简单性.

时间反演就是$t \rightarrow -t$ 然后把$i \rightarrow -i$ (波函数里面用)

算符

算符就是一种对数学操作的抽象记号, 比如说:
$\nabla = \frac{\partial}{\partial e_i} \hat{e}_i$
就是这样的一种抽象.

$\nabla$有矢量性和算符性, 可以这样子进行运算. 当然也可以写成分量的形式用指标运算来做.

量子力学中也有算符, 如动量和能量的算符: $\hat{p} = -i \hbar \nabla$ $\hat{E} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$

推导方式就是拿波函数 $\psi = e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{r} - E t)}$ 对时间求导, 对位置求导即可得到.

指标运算基础

点乘和叉乘满足下面的运算:
$\hat{e}_i \cdot \hat{e}_j = \delta_{i j}$ $\hat{e}_i \times \hat{e}_j = \varepsilon_{i j k} \hat{e}_k$

然后对于Levi-Civita Symbol$\varepsilon_{i j k}$:
$\varepsilon_{i j k} \varepsilon_{i m n} = (\delta_{j m}\delta_{k n}- \delta_{j n}\delta_{k m})$
这个公式可以用行列式来理解, 看成是: $\varepsilon_{a_1, a_2, a_3} \varepsilon_{b_1, b_2, b_3} = \det (\delta_{a_i b_j})$

平均思想

位力定律 $2 \bar{K} = \lambda \bar{U}$

用位力定律得到理想气体方程

首先能均分定理得到动能应该是
$K = 3 N \times \frac{1}{2} k_B T$

考虑位力中的力项为$\mathrm{d} \vec{F} = p \mathrm{d} \vec{A}$ $\bar{\vec{r} \cdot \vec{F}} = \sum \vec{r}_i \cdot (p \mathrm{d} \vec{A})$ 因为在内部的是对称的, 所以位力累加为零, 接下来就只需要考虑在表面的位力项, 所以就相当于是对表面考虑, 变成对表面积分. 面积分化作体积分即可. $\bar{\vec{r} \cdot \vec{F}} = p \oint_S \vec{r} \cdot \mathrm{d} \vec{A} = p \int_V \nabla \cdot \vec{r} \mathrm{d} V = 3 p V$

相对论谐振子中对质量取平均的方法.

Maxwell’s Equations & Basic Group Theory

$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon}\\ \nabla \cdot B = 0 \\ \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}\\ \nabla \times B = \mu_0 (J + \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t})$

实际上就是要对$\nabla$算符的运算要精通.

\[\nabla v = 0\]

多思考这些公式的含义.

对称和守恒

对称性和守恒定律相联系

经典力学就是满足伽利略变换不变的性质.

Oscillator

谐振子模型 $\ddot{q} = \omega^2 q$

量纲分析

单位上的一致, 对(时间)求导的阶数一致, 对协变和逆变的一致.

感觉自己太蠢了

这个复习感觉没什么用了, 所以就记这么点吧.

(实际上是因为时间来不及了)

考后

我是笨蛋.

这张试卷感觉重新定义了”简答题”, 总共八道每题五分的简答题让我感到了世界的冷漠.

写出麦克斯韦方程组并由此证明电荷守恒以及真空电磁波方程

对不起, 我推导错了, 符号反了.

罢了, 只愿能低空飞过, 不求人上人了.