Prepare for Linear Algebra
复习, 复习…
预备知识
等价关系
- 反身性:
a∼a
- 对称性:
a∼b⇒b∼a
- 传递性:
a∼b,b∼c⇒a∼c
映射
- 定义域, 值域
这里的定义和高中的”值域”是不一样的,
定义函数f:X→Y,
这样的Y就是值域, 和高中的不一样在于:
∃y∈Y,∀x∈X,f(x)=y,
就是存在映射后对应X之外的元素.
- 像Im, 原像
像的定义和高中的”值域”是一样的, 就是
Imf=y=f(x),∀x∈X
- 映射的相等
首先就要有相同的定义域和值域, 并且对同样的元素的映射结果一样,
即∀x∈X,f(x)=g(x)⇒f=g
- 映射的限制和扩张
就是假如定义域和值域不一样的话, 就有映射的限制和扩张的概念.
- 几种映射:
- 单射: f(x1)=f(x2)⇒x1=x2
- 满射: Imf=Y
- 一一映射: 即使单射也是满射, 是可逆映射
(实际证明的时候一般是通过构造逆映射来的)
- 变换: f:X→X自己映射到自己身上的映射
- 恒等映射: eX:X→X,x↦x, 是双射
- 包含映射:
I:X→Y,x↦x,X⊂Y,
记为I:X↪Y.
- 映射的复合
研究映射的时候可以通过画交换图来表示映射关系.
商映射
利用等价关系把集合划分成相等价的部分,
在研究的时候只要取出一个元素(代表元)
来研究就可以代表这一个部分.
等价类:
{x:x∼x0}
代表元:
从等价类种任意拉出一个就行
划分:
划分就是把集合分成几个不交并的子集, 划分和等价类一样.
编序集
偏序:
- 反身性: x≤x
- 反对称性: x≤x’,x’≤x⇒x=x’
- 传递性: a≤b,b≤c⇒a≤c
存在偏序关系的集合就是偏序集, 但是也有任意元素都可以比较的全序集
描述偏序关系的图叫哈塞图
极大元: 在可能的比较中没有比他大的
最大元: 在所有比较中都是最大的, 存在即唯一, 一定是极大元
置换
置换
π=(1π(1)2π(2)……nπ(n))
- 置换可以写成对换或者循环的乘积
- 置换是n元对称群
- 置换的符号ε:
对于π=σ1⋯σn,
σi是长度为li的循环:
επ=(−1)∑k=1m(lk−1)
- 奇置换επ=−1,
偶置换επ=1,
Sn中奇偶置换的个数相等, 都为2n!个.
- 斜对称函数满足奇置换作用在变量表上时, 函数值变号.
循环
- 不相交的循环乘积可以交换
- 置换可以写成循环的乘积:
方法就是先选一个起点, 然后走一圈, 闭合;
然后再选择下一个起点直到全部元素历遍
对换
- 长度为2的循环成为对换
- 对换的逆就是其自身
- 循环可以分解为对换之积:
(i1,i2,⋯,in)=(i1in)(i1in−1)⋯(i1,i3)(i1i2)
线性方程组
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
可以记作
Ax=b
或者是
∑j=1nxjA(j)=B
高斯消元法, 把线性方程组变成阶梯型
(和原线性方程组等价, 等价关系就是有相同的解, 或者同不相容)
抽象之后就是矩阵的初等行变换
齐次线性方程组
b=0
线性方程组的类型 |
一般 |
齐次 |
m<n一般 |
m<n齐次 |
解的个数 |
0,1,∞ |
1,0 |
0,∞ |
∞ |
线性方程组的分类
假如可以把线性方程组化成阶梯型
⎩⎨⎧a11x1+⋯a2kxk+⋯00==…==b1b2br+1bn
- 相容的(有解):
br+1,…,bn
全为零
或者rank(A)=rank(A∣B)
- 确定的(解唯一):
- 主未知数的个数和方程未知数个数相等, 即没有自由变量
- rankA=n,A∈Mm×n
- 不确定(存在自由变量)
- 不相容(无解):
br+1,…,bn
不全为零, 也就是有0=b=0的矛盾的方程
矩阵
矩阵的本质
矩阵就是线性映射, 线性映射就是矩阵
矩阵的初等行列变换
矩阵的初等行(列)变换:
- I型初等行(列)变换
Fij交换行(列)
⎝⎛1⋱0⋮1…1⋱110⋱1⎠⎞
- II型初等行(列)变换
Fij(λ)第j行(列)的λ倍加到第i行(列)上
⎝⎛1⋱1…⋱λ⋮1⋱1⎠⎞
- III型初等行(列)变换
Fi(λ)第i行(列)数乘λ倍
⎝⎛1⋱1λ1⋱1⎠⎞
矩阵的初等行(列)变换等价于左(右)乘上一个初等矩阵,
并且初等矩阵是可逆的
向量空间
向量空间定义
满足:
- 加法交换律: X+Y=Y+X
- 加法结合律: (X+Y)+Z=X+(Y+Z)
- 零向量: 0:=(0,⋯,0)s.t.0+X=X
- 负向量: −X:=(−1)Xs.t.X+(−X)=0
- 单位1: 1X=X
- (数)乘法结合律: α(βX)=(αβ)X
- 数乘的结合律: (α+β)X=αX+βX
- 数乘的结合律: α(X+Y)=αX+αY
子空间
满足:
αX+βY∈V,∀X,Y∈V
的就是子空间, 是线性空间的子集
- 子空间的交是子空间
- 子空间的并不一定是子空间
(x轴和y轴向量的并就是反例)
- 子集的生成⟨X1,X2,⋯,Xn⟩
- 线性无关的一堆向量生成子空间,
则这些向量就是这个子空间的一组基,
子空间的维数就是基中的向量的个数
- 子空间的基的个数唯一
- 对于矩阵的基的线性空间
dimVA=dim⟨A(i)⟩=dim⟨A(i)⟩=rankA
(在证明矩阵的rank的问题的时候可以考虑线性空间的理解方式. )
- 判断两个生成子空间是否相等, 只需要通过互相包含就可以得到相等关系:
左边的生成元是否落在右边的生成子空间中,
右边的生成元是否落在左边的生成子空间中
线性无关:
∑αiXi=0⇔αi=0
就说明这样的一组Xi就是线性无关的.
秩
矩阵的秩就是化成阶梯型之后的非零行的个数.
PAQ=(IrOOO)
- 初等行变换不改变矩阵的秩 (证明可以考线性方程组来)
求列向量的秩和极大线性无关组的方法
对矩阵A=(X1,X2,⋯,Xn)
进行初等行变换变成阶梯型A,
则A的非零行的个数就是rankA.
A中的r个非零行打头的非零元所在的列
A(j1),A(j2),⋯,A(jr)
就是A(1),A(2),⋯,A(n)
的一个极大线性无关组
或者也可以利用初等列变换化成阶梯型
A=⎝⎛0⋮0aˉi11⋮aˉi21⋮aˉir1⋮aˉm1aˉi22⋮aˉir2⋮aˉm2⋮⋮0…0⎠⎞
于是就有
A(j1),A(j2),⋯,A(jr)为列向量子空间的基, 也就是
⟨X1,X2,⋯,Xn⟩
的极大线性无关组.
矩阵的运算
- 加法
- 纯量数乘
- 乘法
Am×sBs×n=(∑k=1saikbkj
(AB)(i)=A(i)B
(AB)(j)=AB(j)
- 转置
(让列向量的问题一下子就可以用到行向量上)
(还有别的好用的特点, 比如在斜对称
detA=det(−AT)⇒detA=0)
- 逆
矩阵和线性映射的对应
φ:Rn→Rm
- 加法: φ(X+X’)=φ(X)+φ(X’)
- 乘法: φ(λX)=λφ(X)
于是可以发现矩阵运算和线性映射的联系:
- 加法
+:L(Rn,Rm)×L(Rn,Rm)(φ,φ′)→↦L(Rn,Rm)(φ+φ′:Rn→RmX↦(φ+φ′)(X)=φ(X)+φ′(X))
- 纯量乘法
⋅:R×L(Rn,Rm)(λ,φ)→↦L(Rn,Rm)(λφ:Rn→RmX↦(λφ)(X)=λφ(X))
- 乘法(线性映射的复合)
L(Rn,Rm)中的线性映射
和Mm×n(R)中的矩阵一一对应
方阵
矩阵对应的是线性映射, 方阵对应的是线性变换
方阵的运算有环和代数的结构
矩阵的等价
A∼B⇔∃P,Q可逆,B=PAQ
- 等价类里的元素是同秩
- 任一n阶可逆阵均可分解成n阶初等矩阵的积
逆矩阵
(A∣E)→(E∣A−1)
解空间
所有AX=0的解的集合形成解空间, 记为VA
dimVA+rankAm×n=n
dimImφA+dimKerφA=n
(解空间也同时是核KerφA)
基础解系
解空间的任意一组基为一个基础解系, 求法:
- 化成阶梯型, 并将每一个非零行开头的非零元上方的系数化成0
- 取自由变量依次为1, 其余为0时的解, 就得到一个基矢
行列式
低阶行列式
对角线法则计算
行列式定义
detA=∑σ∈Snεσa1,σ(1)a2,σ(2)⋯an,σ(n)
行列式的本质
多重线性斜对称函数
- 多重线性函数
D[A(1),…,A(k−1),λ′A(k)′+λ′′A(k)′′,A(k+1),…,A(n)]=λ′D[A(1),…,A(k−1),A(k)′,A(k+1),…,A(n)]+λ′′D[A(1),…,A(k−1),λ′′A(k)′′,A(k+1),…,A(n)]
- 斜对称函数
任意交换两个元素(行或列)符号反号
-
detE=1
-
det(λE)=λndet(A)
- 有一行(列)为零的行列式为0
- I型初等行变换, 反号
- II型初等行变换, 不变
- III型初等行变换, 扩大λ倍
行列式公理化定义
-
detE=1
- 多重线性函数
- 斜对称函数
多重斜对称线性函数
任意的多重斜对称线性函数满足:
D(A)=det(A)D(E)
行列式按行列展开
余子式和代数余子式, 就差一个代数项(−1)i+j
行列式应用
分块:
det(AOCB)=det(A)det(B)
方阵乘积行列式:
det(AB)=det(A)det(B)
矩阵可逆的判断
若
det(A)=0
则可逆
AVA=det(A)E=AAV
克莱默法则
X=det(A)AVB
秩的子式判别法
行列式的最大子式的阶数就是rankA
部分习题
在矩阵中出现有一行或一列元素全相等,
然后其他的行(列)的元素又很整齐的话,
考虑用相等的那一行去消元.
rank
- 化成阶梯型
- 看子式, 可以用来估计一个范围先, 然后再讨论
- 基矢量
-
dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)
-
rank(AB)≤rank(A)+rank(B)
- rank(ABC)+rank(B)≥rank(AB)+rank(BC)
行列式
- 按行(列)展开然后递归, 适用于去掉一部分后结构相似的
分块矩阵
好耶(后记)
完蛋了耶, 好耶, 我为什么在高兴呢欸? 明明完蛋了的说.
QAQ
算了一个巨难算的行列式, 给出了一个自己也不信的答案;
证了一个奇怪的命题, 瞎掰了一个自己也不服的证明…