Prepare for Linear Algebra

复习, 复习…

预备知识

等价关系

  • 反身性: $a \sim a$
  • 对称性: $a \sim b \Rightarrow b \sim a$
  • 传递性: $a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c$

映射

  • 定义域, 值域
    这里的定义和高中的”值域”是不一样的, 定义函数$f: X \rightarrow Y$, 这样的$Y$就是值域, 和高中的不一样在于: $\exists y \in Y, \forall x \in X, f(x) \neq y$, 就是存在映射后对应$X$之外的元素.
  • 像$Im$, 原像
    像的定义和高中的”值域”是一样的, 就是 $Im f = {y=f(x),\forall x \in X}$
  • 映射的相等
    首先就要有相同的定义域和值域, 并且对同样的元素的映射结果一样, 即$\forall x \in X, f(x) = g(x) \Rightarrow f = g$
  • 映射的限制和扩张
    就是假如定义域和值域不一样的话, 就有映射的限制和扩张的概念.
  • 几种映射:
    • 单射: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$
    • 满射: $Im f = Y$
    • 一一映射: 即使单射也是满射, 是可逆映射
      (实际证明的时候一般是通过构造逆映射来的)
    • 变换: $f:X \rightarrow X$自己映射到自己身上的映射
    • 恒等映射: $e_X: X \rightarrow X, x \mapsto x$, 是双射
    • 包含映射: $I: X \rightarrow Y, x \mapsto x, X \subset Y$, 记为$I:X \hookrightarrow Y$.
  • 映射的复合

研究映射的时候可以通过画交换图来表示映射关系.

商映射

利用等价关系把集合划分成相等价的部分, 在研究的时候只要取出一个元素(代表元) 来研究就可以代表这一个部分.

等价类:
\(\{x: x \sim x_0\}\)

代表元:
从等价类种任意拉出一个就行

划分:
划分就是把集合分成几个不交并的子集, 划分和等价类一样.

编序集

偏序:

  • 反身性: $x \leq x$
  • 反对称性: $x \leq x’, x’ \leq x \Rightarrow x = x’$
  • 传递性: $a \leq b, b \leq c \Rightarrow a \leq c$

存在偏序关系的集合就是偏序集, 但是也有任意元素都可以比较的全序集

描述偏序关系的图叫哈塞图

极大元: 在可能的比较中没有比他大的 最大元: 在所有比较中都是最大的, 存在即唯一, 一定是极大元

置换

置换
\(\pi = \left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & \ldots & n\\ \pi (1) & \pi (2) & \ldots & \pi (n) \end{array} \right)\)

  • 置换可以写成对换或者循环的乘积
  • 置换是$n$元对称群
  • 置换的符号$\varepsilon$:
    对于$\pi = \sigma_1 \cdots \sigma_n$, $\sigma_i$是长度为$l_i$的循环:
    \(\varepsilon_{\pi} = (-1)^{\sum_{k=1}^{m}(l_k - 1)}\)
  • 奇置换$\varepsilon_{\pi} = -1$, 偶置换$\varepsilon_{\pi} = 1$, $S_n$中奇偶置换的个数相等, 都为$\frac{n!}{2}$个.
  • 斜对称函数满足奇置换作用在变量表上时, 函数值变号.

循环

  • 不相交的循环乘积可以交换
  • 置换可以写成循环的乘积:
    方法就是先选一个起点, 然后走一圈, 闭合; 然后再选择下一个起点直到全部元素历遍

对换

  • 长度为2的循环成为对换
  • 对换的逆就是其自身
  • 循环可以分解为对换之积:
    \((i_1, i_2, \cdots, i_n) = (i_1 i_n)(i_1 i_{n-1})\cdots (i_1, i_3)(i_1 i_2)\)

线性方程组

\(\left\{ \begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1 n} x_n = b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2 n} x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m 1} x_1 + a_{m 2} x_2 + \cdots + a_{m n} x_n = b_m \end{array} \right.\)

可以记作
\(A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)

或者是
\(\sum_{j=1}^n x_j A^{(j)} = B\)

高斯消元法, 把线性方程组变成阶梯型 (和原线性方程组等价, 等价关系就是有相同的解, 或者同不相容)

抽象之后就是矩阵的初等行变换

齐次线性方程组 \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}\)

线性方程组的类型 一般 齐次 $m<n$一般 $m<n$齐次
解的个数 $0,1,\infin$ $1,0$ $0,\infin$ $\infin$

线性方程组的分类

假如可以把线性方程组化成阶梯型
\(\left\{ \begin{array}{lll} \overline{a_{11}} x_1 + \cdots \quad & = & \overline{b_1}\\ \overline{a_{2 k}} x_k + \cdots & = & \overline{b_2}\\ & \ldots & \\ 0 & = & \overline{b_{r + 1}}\\ 0 & = & \overline{b_n} \end{array} \right.\)

  • 相容的(有解):
    $\overline{b_{r + 1}}, \ldots, \overline{b_n}$ 全为零
    或者$rank(A) = rank(A|B)$
    • 确定的(解唯一):
      • 主未知数的个数和方程未知数个数相等, 即没有自由变量
      • $rank A = n, A \in M_{m \times n}$
    • 不确定(存在自由变量)
  • 不相容(无解):
    $\overline{b_{r + 1}}, \ldots, \overline{b_n}$ 不全为零, 也就是有$0 = b \neq 0$的矛盾的方程

矩阵

矩阵的本质

矩阵就是线性映射, 线性映射就是矩阵

矩阵的初等行列变换

矩阵的初等行(列)变换:

  • I型初等行(列)变换 $F_{i j}$交换行(列)
    \(\left( \begin{array}{lllllllll} 1 & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & \\ & & 0 & \ldots & & & 1 & & \\ & & \vdots & 1 & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & \\ & & & & & 1 & & & \\ & & 1 & & & & 0 & & \\ & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & 1 \end{array} \right)\)
  • II型初等行(列)变换 $F_{i j}(\lambda)$第$j$行(列)的$\lambda$倍加到第$i$行(列)上
    \(\left( \begin{array}{lllllll} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \ldots & \lambda & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right)\)
  • III型初等行(列)变换 $F_i(\lambda)$第$i$行(列)数乘$\lambda$倍
    \(\left( \begin{array}{lllllll} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & \lambda & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right)\)

矩阵的初等行(列)变换等价于左(右)乘上一个初等矩阵, 并且初等矩阵是可逆的

向量空间

向量空间定义

满足:

  • 加法交换律: $X+Y=Y+X$
  • 加法结合律: $(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$
  • 零向量: $\boldsymbol{0} := (0, \cdots, 0) \quad s.t. \boldsymbol{0} + X = X$
  • 负向量: $-X:=(-1)X \quad s.t. X + (-X) = \boldsymbol{0}$
  • 单位$1$: $1X=X$
  • (数)乘法结合律: $\alpha(\beta X)=(\alpha \beta)X$
  • 数乘的结合律: $(\alpha + \beta)X = \alpha X + \beta X$
  • 数乘的结合律: $\alpha(X+Y) = \alpha X + \alpha Y$

子空间

满足: \(\alpha X + \beta Y \in V, \forall X, Y \in V\) 的就是子空间, 是线性空间的子集

  • 子空间的交是子空间
  • 子空间的并不一定是子空间 ($x$轴和$y$轴向量的并就是反例)
  • 子集的生成$\langle X_1, X_2, \cdots, X_n \rangle$
  • 线性无关的一堆向量生成子空间, 则这些向量就是这个子空间的一组基, 子空间的维数就是基中的向量的个数
  • 子空间的基的个数唯一
  • 对于矩阵的基的线性空间 $dim V_A = dim \langle A_{(i)} \rangle = dim \langle A^{(i)} \rangle = rank A$
    (在证明矩阵的$rank$的问题的时候可以考虑线性空间的理解方式. )
  • 判断两个生成子空间是否相等, 只需要通过互相包含就可以得到相等关系: 左边的生成元是否落在右边的生成子空间中, 右边的生成元是否落在左边的生成子空间中

线性无关:
\(\sum \alpha_i X_i = 0 \Leftrightarrow \alpha_i = 0\) 就说明这样的一组$X_i$就是线性无关的.

秩

矩阵的秩就是化成阶梯型之后的非零行的个数.

\[P A Q = \left( \begin{array}{ll} I_r & O \\ O & O \end{array} \right)\]
  • 初等行变换不改变矩阵的秩 (证明可以考线性方程组来)

求列向量的秩和极大线性无关组的方法

对矩阵$A=(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 进行初等行变换变成阶梯型$\overline{A}$, 则$\overline{A}$的非零行的个数就是$rank A$.

$\overline{A}$中的$r$个非零行打头的非零元所在的列 $\overline{A}^(j_1), \overline{A}^(j_2), \cdots, \overline{A}^(j_r)$ 就是$\overline{A}^(1), \overline{A}^(2), \cdots, \overline{A}^(n)$ 的一个极大线性无关组

或者也可以利用初等列变换化成阶梯型 \(\overline{A} = \left( \begin{array}{llllll} 0 & & & & & \\ \vdots & & & & & \\ 0 & & & & & \\ \bar{a}_{i_1 1} & & & & & \\ \vdots & & & & & \\ \bar{a}_{i_2 1} & \bar{a}_{i_2 2} & & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \\ \bar{a}_{i_r 1} & \bar{a}_{i_r 2} & & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & & & \\ \bar{a}_{m 1} & \bar{a}_{m 2} & & 0 & \ldots & 0 \end{array} \right)\) 于是就有 $\overline{A}^(j_1), \overline{A}^(j_2), \cdots, \overline{A}^(j_r)$为列向量子空间的基, 也就是 $\langle X_1, X_2, \cdots, X_n \rangle$ 的极大线性无关组.

矩阵的运算

  • 加法
  • 纯量数乘
  • 乘法 \(A_{m \times s} B_{s \times n} = (\sum_{k=1}^s a_{i k} b_{k j}\)
    \((A B)_{(i)} = A_{(i)} B\)
    \((A B)^{(j)} = A B^{(j)}\)
  • 转置
    (让列向量的问题一下子就可以用到行向量上)
    (还有别的好用的特点, 比如在斜对称 \(det A = det(-A^T) \Rightarrow det A = 0\))
  • 逆

矩阵和线性映射的对应

\(\varphi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\)

  • 加法: $\varphi (X + X’) = \varphi (X) + \varphi (X’)$
  • 乘法: $\varphi (\lambda X) = \lambda \varphi (X)$

于是可以发现矩阵运算和线性映射的联系:

  • 加法
    \(\begin{array}{lrll} + : & \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) \times \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) & \rightarrow & \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\\ & (\varphi, \varphi') & \mapsto & \left( \begin{array}{ll}\varphi + \varphi' : & \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\\ & X \mapsto (\varphi + \varphi') (X) = \varphi (X) + \varphi' (X) \end{array} \right)\end{array}\)
  • 纯量乘法
    \(\begin{array}{lrll} \cdot \quad : & \mathbb{R} \times \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m) & \rightarrow & \mathcal{L} (\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)\\ & (\lambda, \varphi) & \mapsto & \left( \begin{array}{ll} \lambda \varphi : & \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\\ & X \mapsto (\lambda \varphi) (X) = \lambda \varphi (X) \end{array} \right) \end{array}\)
  • 乘法(线性映射的复合)

$\mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathcal{R}^m)$中的线性映射 和$M_{m \times n}(\mathbb{R})$中的矩阵一一对应

方阵

矩阵对应的是线性映射, 方阵对应的是线性变换
方阵的运算有环和代数的结构

矩阵的等价

\(A \sim B \Leftrightarrow \exists P, Q可逆, B = P A Q\)

  • 等价类里的元素是同秩
  • 任一$n$阶可逆阵均可分解成$n$阶初等矩阵的积

逆矩阵

\((A|E) \rightarrow (E|A^{-1})\)

解空间

所有$A X = 0$的解的集合形成解空间, 记为$V_A$
\(dim V_A + rank A_{m \times n} = n\)
\(dim Im \varphi_A + dim Ker \varphi_A = n\)
(解空间也同时是核$Ker \varphi_A$)

基础解系

解空间的任意一组基为一个基础解系, 求法:

  1. 化成阶梯型, 并将每一个非零行开头的非零元上方的系数化成$0$
  2. 取自由变量依次为$1$, 其余为$0$时的解, 就得到一个基矢

行列式

低阶行列式

对角线法则计算

行列式定义

\(det A = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_{\sigma} a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \cdots a_{n, \sigma(n)}\)

行列式的本质

多重线性斜对称函数

  • 多重线性函数
    \(\mathcal{D} [A_{(1)}, \ldots, A_{(k - 1)}, \lambda' A_{(k)}' + \lambda'' A_{(k)}'', A_{(k + 1)}, \ldots, A_{(n)}] = \lambda' \mathcal{D} [A_{(1)},\ldots, A_{(k - 1)}, A_{(k)}', A_{(k + 1)}, \ldots, A_{(n)}] + \lambda'' \mathcal{D} [A_{(1)}, \ldots, A_{(k - 1)}, \lambda'' A_{(k)}'', A_{(k + 1)}, \ldots, A_{(n)}]\)
  • 斜对称函数
    任意交换两个元素(行或列)符号反号
  • \[det E = 1\]
  • \[det(\lambda E) = \lambda^n det(A)\]
  • 有一行(列)为零的行列式为$0$
  • I型初等行变换, 反号
  • II型初等行变换, 不变
  • III型初等行变换, 扩大$\lambda$倍

行列式公理化定义

  • \[det E = 1\]
  • 多重线性函数
  • 斜对称函数

多重斜对称线性函数

任意的多重斜对称线性函数满足:
\(\mathcal{D}(A) = det(A) \mathcal{D}(E)\)

行列式按行列展开

余子式和代数余子式, 就差一个代数项$(-1)^{i+j}$

行列式应用

分块:
\(det\left(\begin{array}{ll} A & C\\ O & B \end{array}\right) = det(A) det(B)\)

方阵乘积行列式: \(det(A B) = det(A) det(B)\)

矩阵可逆的判断

若
\(det(A) \neq 0\) 则可逆

\(A^{V} A = det(A) E = A A^{V}\)

克莱默法则

\(X = \frac{A^{V}}{det(A)}B\)

秩的子式判别法

行列式的最大子式的阶数就是$rank A$

部分习题

在矩阵中出现有一行或一列元素全相等, 然后其他的行(列)的元素又很整齐的话, 考虑用相等的那一行去消元.

$rank$

  • 化成阶梯型
  • 看子式, 可以用来估计一个范围先, 然后再讨论
  • 基矢量
  • \[dim V_1 + dim V_2 = dim(V_1 + V_2) + dim(V_1 \cap V_2)\]
  • \[rank(A B) \leq rank(A) + rank(B)\]
  • \(rank(A B C) + rank(B) \geq rank(A B) + rank(B C)\)

    行列式

  • 按行(列)展开然后递归, 适用于去掉一部分后结构相似的

    分块矩阵

好耶(后记)

完蛋了耶, 好耶, 我为什么在高兴呢欸? 明明完蛋了的说.

QAQ

算了一个巨难算的行列式, 给出了一个自己也不信的答案; 证了一个奇怪的命题, 瞎掰了一个自己也不服的证明…