拉格朗日力学

记录一下我重新学习拉氏函数的过程.

(因为之前对拉氏函数的学习完全就是背了个公式的地步, 对背后的推导和证明不是很了解, 所以在看哈密顿力学的时候, 欠的东西就都还回来了. QAQ)

(我认为没有物理含义的物理公式就是世界上最蹩脚的数学. )

Kinetic Energy

动能, 应该没有不知道的.

\[T = \int m \ddot{\vec{r_{}}} \cdot d\vec{r_{}} \\= \int m \frac{d\dot{\vec{r_{}}}}{d\vec{r_{}}} \dot{\vec{r_{}}} \cdot d\vec{r_{}} \\= \int m \dot{\vec{r_{}}} d\dot{\vec{r_{}}} \\= \frac{1}{2} m \dot{\vec{r_{}}}^2\]

(虽然仔细想想之后觉得好像这个动能可以理解成运动的”力”, 也就是加速度对位移的累积. 感觉这样不太好, 还是说成是, 假如在能量不发生其他形式的转换的情况下, 外力做功全部变成动能. 这样理解会好一点吗? )

虚位移-达朗贝尔原理

在”平衡状态”下, 包括静力学平衡和动力学平衡, 即:

\[\vec{F_i} = m \ddot{\vec{r_i}}\]

(其实我觉得就是牛二)

在这个基础上, 假如来一个很小的位移, 这个位移是一个假想的位移, 是把时间冻结, 在保证 $\vec{F_i}$ 和 $\ddot{\vec{r_i}}$ 都不会发生变化的情况下的位移. (虽然在数学上就是两端点乘一个小量再移项而已. )

\[\sum_i (\vec{F_i} - m \ddot{\vec{r_i}}) \cdot \delta \vec{r_i} = 0\]

(这个求和不过是累加被考虑的系统里的所有质点罢了)

拉格朗日关系

考虑用广义坐标表示的坐标$\vec{r_i}$:

\[\vec{r_i} = \vec{r_i}(q_i, t)\]

于是考虑$\vec{r_i}$对时间的全导数, 类似于物质导数的求法:

\[\frac{\mathrm{d} \vec{r_i}}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial t} + \sum_{\alpha} \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}\]

为了去掉这么多复杂的东西(偏导), 再进行一次求偏导(对$\dot{q_{\beta}}$), 于是:

\[\frac{\partial}{\partial \dot{q_{\beta}}} \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r_i}}{\mathrm{d} t} \right) = \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_{\alpha}} \frac{\partial \dot{q}_{\alpha}}{\partial \dot{q_{\beta}}} = \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_{\alpha}}\]

说明了$\vec{r_i}$和$q_{\alpha}$相对时间的变化是一致的? (我瞎猜的, 毕竟我很菜. 手动狗头. )

然后再求一次偏导(对$q_{\beta}$):

\[\frac{\partial}{\partial q_{\beta}} \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r_i}}{\mathrm{d} t} \right) = \frac{\partial^2 \vec{r_i}}{\partial q_{\beta} \partial t} + \sum_{\alpha} \frac{\partial^2 \vec{r_i}}{\partial q_{\beta} \partial q_{\alpha}} \dot{q}_{\alpha}\]

然后通过一点点巧妙的变换, 可以得到:

\[\frac{\partial}{\partial q_{\beta}} \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r_i}}{\mathrm{d} t} \right) = \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_{\beta}} \right) + \sum_{\alpha} \frac{\partial}{\partial q_{\alpha}} \left( \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_{\beta}} \right) \dot{q}_{\alpha}\]

(这个变换成立的基础是偏导数的可交换性质, 从物理上来看, 就是对于我考察的这个冻结的一点, 究竟是先取位置微元还是取时间微元, 对于最终的结果没有本质区别. )

多么巧妙啊, 这样不就是相当于一个全导数了吗?

\[\frac{\partial}{\partial q_{\beta}} \left( \frac{\mathrm{d} \vec{r_i}}{\mathrm{d} t} \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial \vec{r_i}}{\partial q_{\beta}} \right)\]

这个说明什么? 应该是偏导数和时间的全导数的顺序可以交换吧.

拉氏方程

把$\delta r$用对广义坐标的偏微分代换:

\[\delta r = \sum \frac{\partial r}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}\]

(没有时间的项是因为前面的冻结时间的假定) 看广义力的表达式:

\[\sum F (\sum \frac{\partial r_i}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}) = \sum Q_i \delta q_{\alpha}\]

再看加速度项:

\[m \ddot{r} \delta r = m \ddot{r} \sum \frac{\partial r}{\partial q_{\alpha}} \delta q_{\alpha}\]

考虑$\ddot{r} \frac{\partial r}{\partial q_{\alpha}}$ 这个部分, 可以用$v du = d(u v) - u dv$的套路来化简. (这个真的是数学上的技巧吧. )

\[\ddot{r} \delta r = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \dot{r} \frac{\partial r}{\partial q_{\alpha}} \right) + \dot{r} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial r}{\partial q_{\alpha}} \right)\\ = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \dot{r} \frac{\partial \dot{r}}{\partial \dot{q_{\alpha}}} \right) + \dot{r} \left( \frac{\partial \dot{r}}{\partial q_{\alpha}} \right)\]

第二步的变换用到了上面的拉格朗日关系. 这样以后, 该怎么做就想必是十分明晰了.

于是就会有虚位移原理的公式变形:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}} \right) + \left( \frac{\partial T}{\partial q_{\alpha}} \right) = \sum Q_i\]

公式里面消掉了$\delta q_{\alpha}$

这就是拉格朗日方程.

(当然, 保守场里面广义力可以写成势能的偏导, 然后就可以放进去. 这个下次再写, 我认为主要的就是如何得到拉格朗日关系, 以及导出拉格朗日方程. )

一点反思

那如果我只是对能量对求导, 好像也可以得到类似的结论. 那么这种方法的好处在哪里?

我有一种猜想: 就是对能量的求导是利用了能量对时间守恒, 或者是能量的转化(功能关系)来得到的一个相对时间的常微分方程, 往往会难以把多个自由度问题里面的多个广义坐标分开, 就会造成处理上的问题?

题外话

这个$ L_AT_EX $ 感觉好像不知道. 虽然一开始不可以, 但是通过一系列地google和多方面的整合资料, 现在可以成功. (感觉网上的这个说法真是有道理, 互联网真是像极了春秋战国, 诸子百家各种众说纷纭. ) 为了成功, 我找了好多的博客.

目前我的方案是在 _include里面加载一个<head>的脚本mathjax.html, 然后模块化地调用.

<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"></script>
<script type="text/x-mathjax-config">
    MathJax.Hub.Config({
        tex2jax: {
        skipTags: ['script', 'noscript', 'style', 'textarea', 'pre'],
        inlineMath: [['$','$']]
        }
    });
</script>

然后在_include里的head.html文件中加上

<script type="text/x-mathjax-config">
    MathJax.Hub.Config({
        tex2jax: {
        skipTags: ['script', 'noscript', 'style', 'textarea', 'pre'],
        inlineMath: [['$','$']], 
        }, 
        "HTML-CSS": { preferredFont: "TeX", availableFonts: ["STIX","TeX"] }
    });
</script>
<script src="https://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML" type="text/javascript"></script>

这样就可以做到在markdown文件开头加上 math: true就可以在文章中用$ $来插入公式了.

后记

怎么说呢, 上面的东西不一定对, 有错误请谅解并帮忙指出. 谢啦.