Long Time No See

好吧, 但是这个很正常的. 具体的原因有很多, 解释起来很简单: 忘了.

这次我的关注点在于矢量和张量, 虽然高中就学过的东西, 但是怎么说呢? 掌握的还不够好吧, 还是高中真的就什么也没有学, 我现在发现我竟然对这本书(A Brief on Tensor Analysis) 里面的矢量很陌生, 虽然运算都还算行, 但是里面的理解和说法很新.

目前学到了第二章, 但是有一部分没有搞清楚, 所以这次就只是记录第一章的一些要点.

(题外话: 外国本科undergraduate 的东西真是硬核, 除了这本张量的教材, 里面还有什么Measure, Topology, and Fractal Geometry等等. )

张量和矢量的物理学意义

The magic of this theory will hardly fail to impose itself on anybody who has truly understood it; it represents a genuine triumph of the method of absolute differential calculus, founded by Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci and Levi-Civita.

– Albert Einstein

在Einstein口中的”absolute differential calculus” 就是现在的”tensor anlysis”张量分析.

作者认为: 想要将物理学定律和数学公式联系在一起, 就会有一个”dichotomy”: 若要定量地描述物理现象, 就要引入量, 所以就需要”frame” (类似于一个映射, 把物理世界和$E^3 \times \mathbb{R}$ 联系在一起的一个数学结构? 这里有点没懂. ) 和坐标系统来刻画. 但是物理原理是不随着坐标变化而变化的, 所以原理应该又是一种”frame- and coordinate-free”的东西. 也就是所谓的”invariant form”不变形式.

啊, 有点难.

这个是作者讲的, 我现在要慢慢理解一下.

frame: 就是标架

我们可以说标架确定了一组基矢, 并且这个基矢是和位置有关的. 这是因为这个是一个曲线坐标系.

(来自未来的注记)

讨论的范围

书的作者好像比较注重连续介质力学, 所以讨论的限定会是在 三维Euclidean空间, 至于广义相对论的4维Riemannian manifold, 还有数学的$n$维任意空间就是题外话了.

(应该线性代数会讲吧. )

向量 - Directed Line Segments

考虑有向线段$\bar{A B}$, 方向从$A$点指向$B$点, 经过平移变换和空间中的另外的有向线段$\bar{C D}$ 大小和方向都重合, 那么$\bar{A B}=\bar{C D}$, 于是这样的所有的相等的有向线段构成的集合, 也就是一个等价类, 则用$\vec{v}$的向量来表示里面的代表元.

(为了方便, 以后我就不打出矢量符号了. \vec还是有点表示不方便, \boldsymbol就好, 还好看. )

定义单位向量 $\bar{\boldsymbol{v}} = \frac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|}$

directed line segments: 有向线段
head/tail: 首尾
a parallel translation: 平移变换
euivalence class: 等价类
example of euivalence class: 代表元

加法 - Addition of Two Vectors

学过向量的应该都懂.

  • Head-to-Tail-Rule
  • The Parallelogrm Rule

数乘 - Multiplication of a Vector $\boldsymbol{v}$ by a Scalar $\alpha$

Think about similar triangles, and it would be easy.

数乘的话可以看作是向量空间和域的一个二元运算:

\[V \times \mathfrak{K} \rightarrow V\]

其中满足单位元, 结合律, 分配律:

\[e \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}\\ a ( b \boldsymbol{v} ) = ( a b ) \boldsymbol{v} \\ a ( \boldsymbol{v} + \boldsymbol{u} ) = a \boldsymbol{v} + a \boldsymbol{u}\\ ( a + b ) \boldsymbol{v} = a \boldsymbol{v} + b \boldsymbol{v}\]

点乘&叉乘 - Dot Product & Cross Product

没有太大问题吧?

有一个轮换积, 代表是平行六面体的体积(volume): \(\mathrm{vol} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}\)

有一个三重积(triple product): \((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{a}\) (我的记忆方法: 远交近攻)

张量 - Tensor

应该是二阶张量.

考虑一个投影: \(\mathrm{Proj}_{\boldsymbol{u}} \boldsymbol{v} = (\boldsymbol{v} \cdot \bar{\boldsymbol{u}}) \bar{\boldsymbol{u}}\) 然后考虑这样的操作的抽象: (就是取出任意的$\boldsymbol{v}$都有的形式或结构) \(\mathrm{Proj}_{\boldsymbol{u}} = \bar{\boldsymbol{u}} \bar{\boldsymbol{u}}\)

从这里可以看出为什么说”并矢”, 就是把两个向量排在一起, 就是一个二阶张量了.

用这样的方式来理解二阶张量感觉方便一点, 但是作者又在序言里面说, 二阶张量就是一种线性的算符, 将矢量映射成矢量.

(我觉得这个更妙, 因为这样相当于是说很多的运算都可以用张量来说明了. 比如后面的$\boldsymbol{\omega} \times$ 就可以看成是一个斜对称的二阶张量. )

二阶张量的种类

  • symmetric 对称的 $\mathcal{T} = \mathcal{T}^T$
  • skew(antisymmetric) 斜对称 $\mathcal{T} = - \mathcal{T}^T$
  • singular $\exists \boldsymbol{v} \neq \boldsymbol{0}, \quad \mathcal{T} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}$

运用人类的心智, 可以将任何一个二阶张量分解为对称和斜对称的: \(\mathcal{T} = \frac{1}{2} (\mathcal{T} + \mathcal{T}^T) + \frac{1}{2} (\mathcal{T} - \mathcal{T}^T)\)

注意, 二阶张量的相等就是 \(\mathcal{S} = \mathcal{T} \Leftrightarrow \boldsymbol{u} \cdot \mathcal{S} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} \cdot \mathcal{T} \boldsymbol{v}, \quad \forall \boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\)

(和映射的相等类比. )

二阶张量的转置就是: \(\boldsymbol{u} \cdot \mathcal{T} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} \cdot \mathcal{T}^T \boldsymbol{u}\)

(显然, 可以发现二阶张量可以想成这样:

\(\mathcal{T} = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v} \Rightarrow \mathcal{T}^T = ( \boldsymbol{u} \boldsymbol{v} )^T = \boldsymbol{v}^T \boldsymbol{u}^T\) )

Trace

\(\mathrm{tr}(\boldsymbol{u} \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v}\)

Again, Physics

回到物理, 这些向量还有张量和物理的关系.

Two Fundamental Points

  • 代表不同对象的向量是属于不同的线性空间的
    很好理解, 力和电场无法相加
  • 向量不一定完全代表着对象的某个特点 比如刚体绕轴转动的”角位移”是无法相加的(不是平行四边形法则), (某些)速度也无法相加, 因为这样没什么意义.

后记

分量形式还有一点点运算技巧留到下次.

(逃)

========2021.11.29=======

注: 关于张量

张量实际上就是满足在变换过程中仍然线性的东西.

补 – 关于二阶张量的一些运算

\(\mathcal{T} = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v} \\ \mathcal{T} \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} ( \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{w} )\)

可以发现, 二阶张量就是一个投影, 然后换了一个新的基底. 这样就和作者的观点呼应了.

\[\boldsymbol{u} \times \sim \left(\begin{array}{lll} 0 & - u_x & u_y \\ u_z & 0 & - u_x \\ - u_y & u_x & 0 \end{array} \right)\]