矢量分析

场: 物理量在空间的分布
Note: 经典场, 可以认为是一个场算符在空间的平均值
矢量的运算
- 数乘
- 标量积 \(\boldsymbol{A} ⋅ \boldsymbol{B} = A_i B_j δ_{ij}\)
- 矢量积 \(\boldsymbol{A} × \boldsymbol{B} = A_i B_j ε_{ijk} \boldsymbol{e}_k\)
- 混合积 \((\boldsymbol{A} × \boldsymbol{B}) ⋅ \boldsymbol{C}\) 奇偶置换改变符号
- 并矢 \(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = A_i B_j \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j\)
  Note: 并矢是张量但是张量并不是并矢.
  
  (注: 因为目前接触的还都是各向同性介质, 所以就不写了. )
\(∇ = \frac{∂}{∂ q_i} \boldsymbol{e}_i\)
- 积分和微分形式的变换
  - \(\boldsymbol{∇} ⋅ \boldsymbol{f} = lim_{V → 0} \frac{\oint \boldsymbol{f} ⋅ \boldsymbol{S}}{V}\)
  - \(\boldsymbol{∇} × \boldsymbol{f} = lim_{S → 0} \frac{\oint \boldsymbol{f} × \boldsymbol{l}}{S}\)
- 符号的化简与计算
  Note: 满足矢量性和算符性
  
  Note: 一些结果和公式
  - \(∇ r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}\)
  - \(∇ (\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}) = 4 π δ(\boldsymbol{r})\)
  - \(∇ (\boldsymbol{A} ⋅ \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A} × (∇ × \boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{A} ⋅ ∇) \boldsymbol{B} + \cdots\)
不同坐标系的矢量运算
- 拉梅系数 \(h_i = \sqrt{∂_i x + ∂_j y + ∂_k z}\)

电磁现象的普遍规律

电磁介质

电介质

电极化强度 \(\boldsymbol{P} = \frac{∑ \boldsymbol{p}_i}{Δ V} = \boldsymbol{D} - ε_0 \boldsymbol{E}\), 在各向同性介质中有 \(\boldsymbol{P} = χ_e ε_0 \boldsymbol{E}\) 以及 \(\boldsymbol{D} = ε \boldsymbol{E}\), 于是可以有 \(χ_e = \frac{ε - ε_0}{ε_0}, \boldsymbol{D} = \frac{ε \boldsymbol{P}}{ε - ε_0}\).
极化面电荷 \(σ_P = - \boldsymbol{e}_n ⋅ (\boldsymbol{P}_2 - \boldsymbol{P}_1)\)
极化体电荷 \(ρ_P = ε_0 ∇ ⋅ \boldsymbol{E} - ρ_f = - ∇ ⋅ \boldsymbol{P}\)

恒稳电流

电流和电场 \(\boldsymbol{J} = σ \boldsymbol{E}\)
电荷守恒 \(∂_t ρ + ∇ ⋅ \boldsymbol{J} = 0\)

磁介质

\(\boldsymbol{m} = I Δ \boldsymbol{S}\)
\(\boldsymbol{M} = \frac{∑ \boldsymbol{m}_i}{Δ V} = \frac{\boldsymbol{B}}{μ_0} - \boldsymbol{H}\), 在各向同性的介质中有 \(\boldsymbol{M} = χ_M \boldsymbol{H}, \boldsymbol{B} = μ \boldsymbol{H}\).
磁化电流 \(\boldsymbol{J}_M = \boldsymbol{J} - \boldsymbol{J}_f = ∇ × \boldsymbol{B} - \boldsymbol{J}_f\)
磁化面电流 \(\boldsymbol{e}_r = \boldsymbol{e}_r × (\boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{H}_1)\)

麦克斯韦方程组

\[\left\{\begin{matrix}∇ × \boldsymbol{E} & = & - \frac{∂ \boldsymbol{B}}{∂ t}\\∇ × \boldsymbol{H} & = & \boldsymbol{J} + \frac{∂ \boldsymbol{D}}{∂ t}\\∇ ⋅ \boldsymbol{D} & = & ρ\\∇ ⋅ \boldsymbol{B} & = & 0\end{matrix}\right.\]

微分形式在连续介质内部可用, 但是在不连续界面上, 物理量产生了跃变, 微分形式并不适用, 需要改用积分形式:

\[\left\{\begin{matrix}\oint \boldsymbol{E} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{l} & = & \frac{∂}{∂ t} ∫ \boldsymbol{B} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{S}\\\oint \boldsymbol{H} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{l} & = & I + \frac{∂}{∂ t} ∫ \boldsymbol{D} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{S}\\\oint \boldsymbol{D} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{S} & = & ∫ ρ \mathrm{d} V\\\oint \boldsymbol{B} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{S} & = & 0\end{matrix}\right.\]

已知轴对称磁场中的 \(\boldsymbol{B}_z\), 如何计算 \(\boldsymbol{B}_{ρ}\): 利用 \(∇ ⋅ \boldsymbol{B} = 0\) 以及对称性来计算.

可以得到边界条件:

\[\left\{\begin{matrix}\boldsymbol{e}_n × (\boldsymbol{E}_2 - \boldsymbol{E}_1) & = & 0\\\boldsymbol{e}_n × (\boldsymbol{H}_2 - \boldsymbol{H}_1) & = & \boldsymbol{α}\\\boldsymbol{e}_n ⋅ (\boldsymbol{D}_2 - \boldsymbol{D}_1) & = & σ\\\boldsymbol{e}_n ⋅ (\boldsymbol{B}_2 - \boldsymbol{B}_1) & = & 0\end{matrix}\right.\]

利用边界条件来计算方程的时候需要用到的东西:

电势: \(ε_1 ∂_n \varphi_1 = ε_2 ∂_n \varphi_2\)

磁标势: \(μ_1 ∂_n \varphi_{m1} = μ_2 ∂_n \varphi_{m2}\)

电磁场的能量

\(\boldsymbol{S} = \frac{1}{μ_0} \boldsymbol{E} × \boldsymbol{B}\)
\(w = \frac{1}{2} (\boldsymbol{E} ⋅ \boldsymbol{D} + \boldsymbol{H} ⋅ \boldsymbol{B}) = \frac{1}{2} (ε \boldsymbol{E}^2 + μ \boldsymbol{H}^2)\)
(后者仅在各向同性的介质中成立; 整个式子仅在线性介质中成立. )
能量在导体中的传播 \(\boldsymbol{J} = σ \boldsymbol{E}\), 以及 \(∇ × \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}\).

计算能量

静电场

分离变量法求解电场

对于拉普拉斯方程:

\[∇^2 \varphi = 0\]

理论上对于轴对称情况, 其解为 (可以参考数学物理方程):

\[\varphi = ∑_n (a_n r^n + \frac{b_n}{r^{n+1}}) P_n(cos θ)\]

求解步骤:

装模作样地写出方程然后直接写出通解形式 (甚至最后连装都可以不装了)
判断球内还是球外还是球壳内 (通过自然边界条件来减少未定系数):
- 球内: \(b_n → 0\)
- 球外: \(a_n → 0\)
- 球壳内没法减少, 只能通过两个边界条件去进行展开
代入边界条件计算系数:
- 通常只需要代入
  - \(P_0(cos θ) = 1\),
  - \(P_1(cos θ) = cos θ\),
  - \(P_2(cos θ) = \frac{1}{2} (3 cos^2 θ - 1)\)
- 如果遇到不太能简单代入的, 就需要通过 Legendre 展开来计算

均匀外场的介质球的电势解:

\[\left\{\begin{matrix} \varphi & = & - E_0 R cos θ + \frac{ε - ε_0}{ε + 2 ε_0} \frac{E_0 R_0^3 cos θ}{R^2} \\ \varphi_2 & = & - \frac{3 ε_0}{ε + 2 ε_0} E_0 R cos θ\end{matrix}\right.\]

电偶极子的电势解: 把结果拆成 \(∇^2 \varphi = 0\) 以及 \(\varphi = \frac{\boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{r}}{4 π ε_0 r^3}\), 然后代入方程的边界条件去求解.

电像法

电像法不是空间延拓, 而是通过引入一个虚假电荷来计算原空间的大小.

平面镜像
正如其名 \(r' = - r, q' = - q\)
球镜像
可以通过相似三角形来得到 \(r' = \frac{R_0^2}{r}\)

(Note: 可以用最近和最远的两个部分作为条件来去求解)

格林函数

电多极矩展开

\[\varphi = \frac{1}{4 π ε_{0}} (\frac{Q}{r} - \boldsymbol{p} ⋅ ∇ \frac{1}{r} + \frac{1}{6} \mathcal{D} : ∇ ∇ \frac{1}{R} + \cdots)\]

电偶极矩 \(\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{l}\)
其势 \(\varphi = \frac{\boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{R}}{4 π ε_0 R^3}\), 可以用这个来猜特解.

其对应的能量为 \(- \boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{E}\)
电四极矩 \(\mathcal{D}_{ij} = ∫_V (3 x_i x_j - r^2 \mathcal{I}) ρ(r) \mathrm{d}V\)
其对应的能量为 \(- \frac{1}{6} \mathcal{D} : ∇ \boldsymbol{E}\)
电多极矩

静磁场

矢势

\[∇ × \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\]

如何通过 \(\boldsymbol{B}\) 来求解 \(\boldsymbol{A}\):

矢势和规范条件: \(\boldsymbol{A} + ∇ ψ ⇔ \boldsymbol{A} ⇒ ∇ ⋅ \boldsymbol{A} = 0\)
\(\boldsymbol{B} = ∇ × \boldsymbol{A}\) 一般可以通过对称性来减少计算量
或者可以通过 \(\boldsymbol{A} = \frac{μ_0}{4π} \oint \frac{I \mathrm{d}\boldsymbol{l}}{r}\) 来计算矢势

磁标势

在 \(\oint \boldsymbol{H} ⋅ \mathrm{d} \boldsymbol{l} = 0\), 可以认为其为 \(\boldsymbol{H} = - ∇ \varphi\).

使用磁标势来求解问题的方法和电势的方法类似.

均匀外场下的铁球的磁标势解:

\[\left\{\begin{matrix} \varphi_1 & = & \frac{R_0^3}{3} \frac{\boldsymbol{M}_0 ⋅ \boldsymbol{R}}{R^3} \\ \varphi_2 & = & \frac{1}{3} \boldsymbol{M}_0 ⋅ \boldsymbol{R}\end{matrix}\right.\]

磁多极矩

磁偶极子的势 \(\varphi = \frac{\boldsymbol{m} ⋅ \boldsymbol{R}}{4 π R^3}\)

A-B 效应

通过双缝干涉的装置和螺线管来说明 \(\boldsymbol{B}\) 不是唯一描述磁场的物理量, 还需要 \(\boldsymbol{A}\) 的描述.

超导

两类超导体:
- 第一类超导体: 存在临界磁场 \(H_C [1 - (\frac{T_1}{T_2})^2], T \leq T_C\)
- 第二类超导体: 存在下临界磁场和上临界磁场, 于是有超导态, 混合态, 正常态.
  有皮纳得局域近似: \(J_s = - \frac{e n s^2}{m^{*}} A\)
伦敦唯象理论
- 伦敦第一方程 \(\boldsymbol{J} = \boldsymbol{J}_{normal} + \boldsymbol{J}_{super-conduct}\)
  其中, \(\boldsymbol{J}_{normal} = σ \boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{J}_{super-conduct} = ρ_s \boldsymbol{v} = n_s e \boldsymbol{v}, ∂_t \boldsymbol{J} = α \boldsymbol{E}\)
- 伦敦第二方程 \(∂_t \boldsymbol{J} = - α \boldsymbol{B} ⇒ \boldsymbol{B} = B_0 e^{-z/λ l} \boldsymbol{e}_l\).

超导球应当有 \(\boldsymbol{B}_r = ∂_r \varphi_m = 0\) 可以用来作为边界条件来计算结果.

后记

要是数学物理方程的考试卷这样就好了, 什么叫做原题啊 (摊手)~

~~指在电动力学的考卷里面看到了数学物理方程的原题, 但是因为知道电动力学的结论所以不用死算~~

终于, 期中考试这个可以结束了, 接下来欠的一堆债要还了.