Complex Analysis

复变函数学十遍…

虽然仔细想了想, 发现虽然东西不多, 但是都不好算啊… 并且作为一个称职的菜狗, 还把基本上所有的证明都略过了. (虽然一般的结论和数学分析里面的都差不多(目前). )

复数

  • 四则运算, 求模之类的, 反正计算的时候选一个好一点的坐标系会比较方便, 比如遇到指数相关的大多数是极坐标, 遇到实部虚部的时候大多数是$x-y$
  • 共轭: $z = x + iy \rightarrow z^* = x - i y$
    其中共轭是对合运算: \((z^*)^* = z, \mathrm{Re} z = \frac{z + z^*}{2}, \mathrm{Im} z = \frac{z - z^*}{2i}\), 对四则运算保持运算.
  • 三角不等式: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

  • $ρ e^θ$

    利用上面的方法可以用来计算三角函数的和:
    $S_n(\theta) = \sum_{i = 1}^{n} \sin i \theta$
    用欧拉公式, $\sin k\theta = \frac{e^{ikθ} - e^{-ik\theta}}{2i}$ 将求和变成对等比级数的求和.

    用来计算 $\theta = \sum \arctan{\frac{n_i}{d_i}}$:
    设 $z_i = d_i + i n_i$, 于是就有 $\theta = \mathrm{arg}(\prod z_i)$.

  • 康托完备性: Cauchy 数列均收敛于 $\mathbb{C}$, 复数域康托完备
  • 代数学基本定理: 复数多项式一定有根
    • 一般的操作就是 $R(z) = \prod_i(z^{\alpha_i} - c_i e^{i\theta_i})$, 然后就能够解: $z = \sqrt[\alpha_i]{c_i} e^{i \frac{\theta_i + 2 \lambda \pi}{k_i}}$.
    • 或者是用来将多项式化简成一次因式的基, 即计算出 $z_i$, 然后得到结果.
  • 欧拉公式: $\cos\theta + i \sin\theta = e^{i\theta}$
    于是可以有倍角公式: $\sin n\theta = \mathrm{Im} (e^{i\theta})^n = \mathrm{Im} (\cos\theta + i \sin\theta)^n$. 于是就有了倍角公式了.
  • 复数几何: 平移$\pm z$, 伸缩$\lambda$, 旋转: $e^{i\theta}$
  • 球极投影
    (虽然不一定有用, 但是可以记录一下: 基本的做法就是一个三角形的相似而已. )
  • 多值性: 割线和黎曼面
    分支点阶数: $k$ 阶分支点 (绕 $k + 1$ 圈回到原来的值), $\infty$ 阶分支点.

函数

  • $\mathrm{sinh} = \frac{e^z - e^{-z}}{2}, \mathrm{cosh} = \frac{e^z + e^{-z}}{2}$
    (注: 和三角函数不一样, 里面没有 $i$ 的出现. )
  • 类似于 $\mathrm{ln}z = \mathrm{ln} |z| + i \mathrm{Arg}z$ 这样的的函数有多值性
  • 对于函数极限与趋近极限的路径无关.
  • 解析函数 (全纯函数): 在 $E$ 上解析的函数, 若 $E = \mathbb{C}$, 则为整函数.
  • 调和函数: $ΔH=0$.
    C-R 条件 $⇒$ 解析函数的实部或虚部为调和函数

集合

平面点集的定义.

导数

\[\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z+Δz) - f(z)}{Δz} = \frac{\mathrm{d} f(z)}{\mathrm{d} z}\]
  • C-R 条件: $\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂v}{∂y}, \frac{∂u}{∂y} = -\frac{∂v}{∂x}$
    若 C-R 条件不满足, 那么就不可求导. (虽然满足也不一定可导就是了, 一般来说, 证明不可导就用一个反例来就好了. )
    (注: 一个简单的, 但估计不太严谨的记忆方法就是 $(u,v)$, $(x,y)$, $(ρ, \varphi)$, 看作是按顺序来的一对, 顺序相同的同号, 反的就是异号. )

积分

一般的积分和数学分析里面的差不多.

  • 柯西公式: $f(\alpha) = \frac{1}{2πi} \oint_l \frac{f(z)}{z-α} \mathrm{d}z$
    (证明的思路类似构造一个非常贴近 $\alpha$ 点的小圆和外面的大圆. )
    • 导数: $f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \oint_l \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^{n+1}}\mathrm{d}\xi$
    • Morera 定理: $\forall l \subset E, \oint_l f(z) \mathrm{d}z = 0 ⇒ f(z)$解析
    • Liouville 定理: $f(z)$ 为整函数, 并且有界, 则常数.
      (证明思路: 构造 $\xi \rightarrow \infty$ 的积分路径 $l$. )

极限, 级数

极限: $∀ε > 0, ∃N, n > N ⇒ |z_n - z| < ε$, 可以看作是实部合虚部的分别的极限.

级数 (和) 的收敛性判断:

  • Cauchy

    \[n > N ⇒ |\sum_{k = n + 1}^{n + p} z_k | < ε\]

    原形就是 $z_m - z_n < ε$ 的一个变形.

  • Leibniz

    \[a_k ↓ \rightarrow 0 ⇒ \sum_{k=1}^∞(-1)^{k-1}a_k \rightarrow S\]

    其实就是 Dirichlet 的一种形式

  • Dirichlet

    \[\{a_k\} 单调 \rightarrow 0, \mathrm{sup}\{b_k\} \leq M ⇒ \sum_{k=1}^∞a_kb_k\]

一些结果:

  • 条件收敛, 绝对收敛
  • 级数的加减乘除

幂级数

  • 收敛半径: $\frac{1}{R} = \lim_{n \rightarrow ∞}\frac{a_{k+1}}{a_{k}}$
    在洛朗级数里面, 内圆收敛半径: $\frac{1}{r} = \lim_{n \rightarrow ∞}\frac{a_{-k}}{a_{-(k+1)}}$
    或者使用 $\frac{1}{R} = \lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{a_n}$
  • 泰勒展开
  • 解析延拓: 不知道算是一种概念上的东西还是一个操作性的东西…
  • 洛朗级数展开(双边级数展开): 类似泰勒展开, 在操作上加入一个负幂部分.
    • 可去奇点, 本心奇点, ($m$ 阶) 极点

Exercises

  • 平面点集:

    点集类型: $0 < \mathrm{arg} \frac{z-i}{z+i} < \frac{π}{4}$, 之类的. 想法就是 $\mathrm{arg}\frac{a + b i}{|z|}$ 变成那样再算.

  • 复数运算

    Cauchy-Schwarz 不等式:
    \(\|\sum_{j = 1}^n c^*_jd_j\|^2 \leq (\sum_{j=1}^n \|c_j\|^2) \cdot (\sum_{k=1}^n \| d_k \|^2)\)
    证明的思路是这样的: 利用内积和韦达定理.

    三角函数:
    \(\sum_{k=1}^n (\cot \frac{k \pi}{2n+1})^2 = \frac{n(2n-1)}{3}\)
    想法是利用欧拉公式和多项式的根和系数的关系:

    • 欧拉公式:
      \(\cos m\theta + i \sin m\theta = e^{im\theta} = (\cos\theta + i\sin\theta)^m ⇒ \frac{\cos m\theta + i\sin mθ}{\sin^mθ} = \sum_{l=0}^m \left(\begin{array}{l}m\\l\end{array}\right) i^l\cot^{m-l}\theta\)
    • 可以看出解为 $k\pi/(2n+1)$, 利用韦达定理可以得到和的表达式.

    无穷嵌套:
    \(z = \sqrt{i + \sqrt{i + \cdots}}\)
    简单的做法就是 $z = \sqrt{i + z}$, 然后计算检测是否满足结果.
    复杂的做法就是写成 $z = \rho e^{i\theta}$ 或者是 $z = a + b i$ 的形式.

  • 复数几何

    $z_1, z_2, z_3: z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 ⇔ z_1, z_2, z_3$ 形成等边三角形

  • 解析函数

    实值解析函数为常数
    证明思路: 直接使用 C-R 条件即可.

    已知解析函数的一部分 (实部或者虚部), 求解解析函数 (复势).

    • 首先验证是否是解析函数, 检测那部分是否满足拉普拉斯方程.
    • 求解解析函数的一部分 (如果有必要的话):
      比如有一个圆族方程: $x^2 + y^2 = r^2$, 那么把变动的那一项写出来, 就能够得到等势线族方程. 等势线族方程对应 $u$. 电力线族对应 $v$.
    • 计算的方法主要有三个:
      • 凑全微分 (最优先选择)

      • 代数方法 (虽然比较抽象, 但是某些时候比较好算)

        \[u(x, y) = \frac{1}{2} (f(x+iy) + f^*(x-iy)), v(x, y) = \frac{1}{2i} (f(x+iy) - f^*(x-iy))\]

        基石 $↑$, 于是计算的时候, 相当于只需要计算 $f(z) = 2u(\frac{z}{2}, \frac{z}{2i}) - u(0,0) + iC$ 即可.

      • 路径积分 (最容易理解, 但是最难算)

    虽然但是, 这个是一个考验熟练度的活…

  • 积分

    \[\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{R\cos\theta}{R^2 - 2rR\cos\theta + r^2} \mathrm{d}\theta = \frac{r}{R^2 - r^2}\]

    思路是这样的: 积分的时候遇到三角函数有理分式的时候, 可以利用欧拉公式: $z = e^{i\theta}$ 来替换 $\mathrm{d}\theta = \frac{\mathrm{d} x}{iz}$.
    这样问题就变成了有理分式积分. 对于有理分式积分, 思路是这样的:
    将其变成 $\sum \frac{1}{Q(z)} + \sum P(z)$ 的形式, 其中 $Q,P$ 为有理多项式. 对于 $\frac{1}{Q(z)}$ 的形式, 通过留数定理来计算.
    (Note: 留数定理: \(\oint_C f(z) \mathrm{d}z = 2 \pi i \mathrm{Res} f(z_0)\), 其中留数为 $\lim_{z \rightarrow z_0} (z-z_0)f(z) = \mathrm{Res} f = a_{-1}$. )

  • 级数

    计算收敛半径:

    • $\sum(a_k + b_k)z^k \rightarrow \mathrm{min} (r_a, r_b)$, 类似这样的, 虽然可能不太好算, 但是可以从收敛圆的那个图直观感受一下.
    • $\sum \frac{z^k}{1-z^k}$ 这样的求收敛半径的. 不会做就先猜后证吧… 猜好边界位置之后, 然后利用放缩来证明, (比如放缩成等比数列求和之类的).

    级数展开的问题:

    • 泰勒展开:
      • $(1+z)^{1/z}$ 这样的, 可以先求对数, 然后 $\frac{1}{z} \sum\cdots$.
      • $\arctan z$ 这样的, 可以先求导 $\frac{1}{1+z^2}$, 后展开, 再积分.
      • $\mathrm{ln} (1+e^z)$ 这样的, 可以先将 $e^z$ 视为一个 $u$ 展开, 然后再继续展开. (看来要记一下常用展开)
    • 洛朗级数:
      • 分数形 $\frac{f(z)}{(z-z_0)^k}$, 其中 $f(z)$ 是一个只需要普通泰勒展开的