通用的一些小技巧

公式速通尝试

  • Millikan 油滴实验: \(m g = q E ⇒ q_e = \mathrm{gcd}(\{\frac{m_i g}{E}\})\)

    \(m\) 油滴质量, \(q\) 电荷, \(E\) 电场

  • 库仑散射公式: \(tan \frac{θ}{2} = \frac{Z e^2}{2 π ε_0 μ v_0^2 b}\)

    \(θ\) 散射角, \(μ\) 约化质量, \(v_0\) 粒子速度, \(b\) 瞄准距离

  • 卢瑟福散射截面: \(σ(θ) = \frac{\mathrm{d} σ}{\mathrm{d} Ω} = (\frac{1}{4 π ε_0})^2 (\frac{Z e^2}{2 E_k})^2 \frac{1}{sin^4 \frac{θ}{2}}\)

    \(σ\) 散射截面, \(Ω\) 散射立体角, \(θ\) 散射偏向角, \(Z\) 原子序数

  • 卢瑟福背散射: \(k = (\frac{m_1 cos θ ± \sqrt{m_2^2 - m_1^2 sin^2 θ_1}}{m_1 + m_2})^2\)

    \(m_1\) 为入射粒子质量, \(m_2\) 为靶粒子质量, \(θ_1\) 为实验室系下的偏转角度

  • 氢原子光谱: \(σ = \frac{1}{λ} = R (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})\)
  • 弗兰克 - 赫兹与改进
  • 黑体辐射
    • 基尔霍夫定律 \(\frac{r_1(λ, T)}{α_1(λ, T)} = \frac{r_2(λ, T)}{α_2(λ, T)} = \frac{c}{4} ρ(λ, T)\)
    • Stefan-Boltzmann 定律: \(E_0(T) = σ T^4\)
    • Wien 位移定律: \(T λ_m = b\)
    • 普朗克黑体辐射 \(r_0(λ, T) = \frac{2 π h c^2}{λ^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{k T λ}} - 1}\)
  • 光电效应 \(h ν = E_k|_{= \frac{1}{2} m v^2} + W_e\)
  • 康普顿散射 \(Δ λ = \frac{h}{m_0 c} (1 - cos \varphi) = λ_c (1 - cos \varphi) = 2 λ_c sin^2 \frac{\varphi}{2}\)
    • 康普顿波长 \(λ_c = \frac{h}{m_0 c}\)
  • 波尔氢原子理论
    • 经典轨道, 定态条件, 频率条件 \(h ν = E_n - E_m\), 角动量量子化条件 \(m_e ν r = n \hbar\) (驻波)
    • \(E_n = - \frac{μ e^2 Z^2}{2 (4 π ε_0)^2 \hbar^2 n^2}\)
    • \(r_n = \frac{4 π ε_0 \hbar^2}{μ e^2} \frac{n^2}{Z}\)
    • 里德伯原子
  • 物质波: \(λ = \frac{h}{p}, ν = \frac{E}{h}\)
  • 电子晶体衍射 (布拉格衍射) \(δ = 2 d sin θ = \frac{2 n + 1}{2} λ\)
  • 海森堡不确定性原理 \(Δ x ⋅ Δ p_x \geq \frac{\hbar}{2}, Δ E ⋅ Δ t \geq \frac{\hbar}{2}\)
  • 概率波
    • 平面波 \(Ψ(\boldsymbol{r}, t) = Ψ_0 e^{- i \frac{2 π}{h}(E t - \boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{r})}\)
    • 连续性, 单值性, 归一化
  • 态叠加
    • \(\langle A| = \varphi^{*}, |B \rangle = ψ\)
    • 物理不可分: \(\langle f|i \rangle = ∑ \langle f|i \rangle_k\),

      物理可分 (跃迁概率已知) \(|\langle f|i \rangle|^2 = ∑ |\langle f|i \rangle|^2\)

    • 中间态 \(\langle f|v \rangle \langle f|i \rangle = \langle f|i \rangle\)
    • 独立事件 \(\langle fF|iI \rangle = \langle f|i \rangle \langle F|I \rangle\)
  • 薛定谔方程 \(i \hbar \frac{∂}{∂ t} Ψ(\boldsymbol{r}, t) = (- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2}{∂ \boldsymbol{r}^2} + U(\boldsymbol{r}, t)) Ψ(\boldsymbol{r}, t)\)
    • 无限深势阱 \(ψ = A sin \frac{n π}{l} x ⇒ n^2 \frac{h^2}{8 m a^2}\) (驻波解)
    • 抛物线势阱 \(E_n = (n + \frac{1}{2}) \hbar ω\)
    • 散射 \(Φ_{\mathrm{before}} = A e^{+ i k_1 x} + B e^{-i k_1 x}, Φ_{\mathrm{after}} = C e^{- k_2 x}\)
    • 隧穿 \(Φ_{\mathrm{before}} = A e^{+ i k_1 x} + B e^{- i k_2 x}, Φ_{\mathrm{in}} = D e^{- k_2 x} + F e^{k_2 x}, Φ_{\mathrm{after}} = C e^{k_3 x}\)
  • 平均值和算符 \(\langle ψ|\hat{A}|ψ \rangle\)
    • 对易与非对易 \([\hat{A}, \hat{B}] = 0 \mathrm{or} ≠ 0\)
    • 动量算符 \(\hat{p} = i \hbar \frac{∂}{∂ \boldsymbol{r}}\); 坐标算符 \(\hat{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{r}\); 能量算符 \(\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m} ∇^2 + U\); 角动量算符 \(\hat{L} = ∑ \hat{L}_i\).
  • 氢原子解

    主量子数 \(n\); 轨道角动量 \(l = 0, 1, …, n - 1\), 对应 \(s, p, d, …\); 磁量子数 \(m = 0, ± 1, ± 2, …, ± l\)

  • 施特恩-盖拉赫实验 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{μ} ∇ ⋅ \boldsymbol{B} = μ_{jz} ∂_z B\) (非均匀磁场), \(μ_{jz} = m_j \hbar\) 分裂成 \(m_j = 0, ± 1, …, ± j\) 条谱线.
  • 原子状态 \(^{2s + 1}l_{j}\), \(l = s, p, d, …\)
  • 电子自旋 \(s = \sqrt{s (s + 1)} \hbar\)
    • 朗德因子 \(g = 1 + \frac{j(j + 1) - l(l + 1) + s(s + 1)}{2 j (j + 1)}\), \(g_j = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(\frac{s(s + 1) - l(l + 1)}{j (j + 1)})\)
  • 碱金属双线: 轨道贯穿 + 原子实极化 (+ 自旋磁矩 + 轨道磁矩 [精细结构] (+ 核磁矩 + 电子磁矩 [超精细结构]))

    能级间隔 \( Δ E = \frac{R h c α^2 {Z^{*}}^4}{n^3 l(l + 1)} = 2 μ_B B_{\mathrm{in}}\)

  • 精细结构
    • 相对论质量修正: \(Δ E_n' = - \frac{Z^2 α^2}{n^2} E_n [\frac{3}{4} - \frac{n}{l + 1/2}]\)
    • 达尔文修正: \(Δ E_n” = - \frac{Z^2 α^2}{n^2} n E_n\)
  • 兰姆移位: \(U = \frac{a}{2} [F(F + 1) - I(I + 1) - J(J + 1)]\), \(Δ E = U(F = 1) - U(F = 0) = \hbar^2\)
  • 塞曼效应: \(Δ E = m_j g B μ_B\)
  • 斯塔克效应: \(Δ E = e E a_0\)
  • 核磁共振: \(h f = 2 μ_z (B_{\mathrm{ext}} + B_{\mathrm{local}})\)

原子尺度的常数

  • 电子质 (能) 量: \(m_e c^2 = 0.511MeV\)
  • \(\hbar c = 197 MeV ⋅ fm = 197 eV ⋅ nm\)
  • \(\frac{e^2}{4 π ε_0} = 1.44 MeV ⋅ fm = 1.44 eV ⋅ nm\)

物质基本结构

关于 “原子” 的吐槽:

导师: 这件事比较 trick 的一点就是, “原子” 那个是日本人做的. 只是他们用的是汉字. 而 “中国” 这个是我们做的. 做那个的机器现在还在物理所里面.

不过现在所里面的大杀器能干的事情更多了…

电子

Millikan 油滴实验

/_img/pieces/atomic-physics/millikan.svg

  • 油滴质量 \(⇐\) 关闭电场, 通过空气阻力来进行测量质量
  • \(m g = q E ⇒ q = \frac{m g}{E}\) 并取最大公约数为 \(q_e\)

原子

粒子散射实验 (盖革-马斯顿实验)

/_img/pieces/atomic-physics/Geiger-Marsden-experiment.svg

汤姆逊散射

库仑散射公式

\[tan \frac{θ}{2} = \frac{Z e^2}{2 π ε_0 μ v_0^2 b}\]

假设:

  • 原子核不动 (注: 加入等效质量 \(μ = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\) 可以进行修正)
  • 忽略电子对散射影响
  • 仅考虑电场力
  • 认为是单次散射

建立坐标如下:

/_img/pieces/atomic-physics/scattering.svg

  • 将速度在平面上按 \(z\) 方向和 \(x\) 方向进行分解:
  • \(z\) 方向上的速度变化: \(\dot{v}_z = - \frac{Z e^2}{4 π ε_0 μ r^2} sin φ\);
  • 角动量守恒: \(v_0 b = \dot{φ} r^2\);
  • 于是 \(∫_{-π}^{θ} - \frac{Z e^2}{4 π μ ε_0} sin φ \mathrm{d}φ = ∫_0^{v_0 sin θ} v_0 b \mathrm{d}v_z\); 解得 \(\frac{Z e^2}{4 π ε_0 μ} (cos θ + 1) = \frac{1}{2} v_0^2 b sin θ\), 即 \(b = \frac{Z e^2}{2 π ε_0 μ v_0^2} \frac{1}{tan \frac{θ}{2}}\); 或者 \(tan \frac{θ}{2} = \frac{Z e^2}{2 π ε_0 μ v_0^2 b}\).

卢瑟福散射截面

/_img/pieces/atomic-physics/rutherford.svg

\[σ(θ) = \frac{\mathrm{d}σ}{\mathrm{d}Ω} = (\frac{1}{4 π ε_0})^2 (\frac{Z e^2}{2 E_k})^2 \frac{1}{sin^4 \frac{θ}{2}}\]

假设:

  • 每个被散射的 \(α\) 粒子仅被一个原子散射
  • 靶在单位体积内均匀分布, 但是认为互不遮挡, 即等效为一个二维的平面靶 (面原子数为 \(n t s\), \(n\) 为原子数密度, \(t\) 为厚度, \(s\) 为面积)
  • 认为 \(α\) 粒子均匀入射, 平行出射 (探测器和粒子源相对距离都比金箔尺寸大)

有映射关系: 均匀 \(α \overset{b}{→} θ(b) \overset{\mathrm{d}b → \mathrm{d}σ}{→} \mathrm{d}Ω → p(Ω)\) (不均匀的概率分布).

  • \(\mathrm{d} b → \mathrm{d}σ: \mathrm{d}σ = 2 π b \mathrm{d}b\)
  • \(θ → \mathrm{d}Ω: \mathrm{d}Ω = \frac{2 π r sin θ ⋅ r \mathrm{d}θ}{r^2}\)
  • 于是 \(\frac{\mathrm{d}σ}{\mathrm{d}Ω} = \frac{b}{sin θ} \frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}θ} = - (\frac{1}{4 π ε_0})^2 (\frac{Z e^2}{μ v_0^2})^2 \frac{1}{sin^4 \frac{θ}{2}}\); 且可以得到在 \(Ω\) 处, \(\mathrm{d}Ω\) 立体角内接受到的散射粒子数量 \(N(Ω) = N n s t \frac{\mathrm{d}σ}{s}\).

    其中 \(\mathrm{d}Ω ≈ \frac{s'}{r^2}\), 其中 \(s'\) 为探测环面积. 并且应有:

    • \(\mathrm{d}N ∼ \frac{1}{sin^4 \frac{θ}{2}}\) (转动探测器来实现)
    • \(\mathrm{d}N ∼ \frac{1}{v_0^4}\) (改变 \(α\) 粒子速度, 比如用薄云母减速)
    • \(\mathrm{d}N ∼ Z^2\) (可以用来测量 \(Z\))

注意:

  • \(θ → 0 ⇒ b\) 大, 则说明电子屏蔽作用不可忽视, \(α\) 粒子与中性原子散射, 散射公式不成立.
  • 通过计算在近日点的能量, 可以得到近日点位置 \(r_m\). 并且在其最小时 (显然就是对心碰撞时候), 可以用来估算原子核大小.

卢瑟福背散射谱仪

/_img/pieces/atomic-physics/RBS.svg

  • 通过研究入射粒子损失的能量来分析元素的种类, 损失后能量比 \(k = \frac{E}{E_0}\):

    \[k = (\frac{m_1 cos θ_1 ± \sqrt{m_2^2 - m_1^2 sin^2 θ_1}}{m_1 + m_2})^2\]

    其中 \(m_1\) 为入射粒子质量, \(m_2\) 为靶粒子质量 (\(m_1 < m_2\)). \(θ_1\) 为实验室系的散射角.

  • 不同元素对应不同能量位置
  • 峰面积正比元素含量

波尔的氢原子理论

不连续的实验现象

氢原子光谱

\[σ = \frac{1}{λ} = R (\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2})\]

弗兰克 - 赫兹实验

/_img/pieces/atomic-physics/franck-hertz.svg

于是随着电压 \(U_0\) 的增加面可以看到电流增加的同时发现有陷峰:

/_img/pieces/atomic-physics/F-H-res.svg

实验原理:

  • 为什么会损失能量: 碰撞使得被撞原子中的电子发生跃迁, 吸收了能量, 非弹性碰撞 (电子损失能量, 激发汞原子)
  • 为什么会有不损失能量: 弹性碰撞
  • 为什么会有整数倍的能量损失陷峰: 多次碰撞

实验装置的局限和改进:

  • 局限: 边加速边碰撞, 分辨率不高
  • 改进: 将加速和碰撞区分离

    /_img/pieces/atomic-physics/franck-hertz-improve.svg

    令 \(G_1, G_2\) 等电位, 可使得其中电子只碰撞不加速.

黑体辐射 (能量量子化)

一些行话:

  • 平衡热辐射: 吸收能量等于同一时间内辐射的能量.
  • 辐射本领: \(r(λ, T) = \frac{\mathrm{d}E(λ, T)}{\mathrm{d}λ}\) 温度为 \(T\) 的物体, 单位事件内从单位表面积辐射出来的波长在 \(λ\) 附近 \(\mathrm{d}λ\) 的辐射功率为 \(\mathrm{d}E(λ, T)\),
  • 总辐射本领: 单位面积上发生的各种波长的辐射总功率 (\(W/m^2\)). \(E(T) = ∫ \mathrm{d}E(λ, T) = ∫ r(λ, T) \mathrm{d}λ\)
  • 吸收本领: 入射到物体上的辐射, 吸收的和入射的辐射之比称为吸收本领 \(α(λ, T)\).
  • 基尔霍夫定律: \(\frac{r_1(λ, T)}{α_1(λ, T)} = \frac{r_2(λ, T)}{α_2(λ, T)} = r_0(λ, T) = \frac{c}{4} ρ(λ, T)\). 任何物体在同一温度 \(T\) 下的辐射本领与吸收本领成正比, 比值只与 \(λ\) 和 \(T\) 有关, 与材料无关.
  • Stefan-Boltzmann 定律:

    \[E_0(T) = σ T^4\]

    黑体总辐射本领与 \(T^4\) 成正比

  • Wien 位移定律

    \[T λ_m = b\]

    极值波长 \(λ_m\) 和 \(T\) 乘积为常数.

  • (经典) 黑体辐射分布曲线推导
    • Wein 公式: \(r_0(λ, T) = C_1 λ^{-5} e^{-C_2 / λ T}\)

      (经典麦克斯韦速度分布律)

    • Rayleigh-Jeans 公式: \(r_0(λ, T) = 2 π λ^{-4} k T c\)

      (能均分定理推导)

普朗克黑体辐射公式

\[r_0(λ, T) = \frac{2 π h c^2}{λ^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{k T λ}} - 1}\]

光电效应

\[h ν = \frac{1}{2} m v^2 + W_e\]

  • 电流饱和值 \(i_m ∼ I\) (光强)
  • 遏止电压 \(U_0 = \frac{W_e}{h}\)

光电效应的应用:

  • 红外夜视仪
  • 光电倍增管 PMT
    • 性能描述: 效率, 分辨, 增益
    • 一次事件的信号输出 (为什么会有两个峰? 因为粒子能量太高穿透玻璃发生切伦科夫光. )

康普顿散射

\[Δ λ = \frac{h}{m_0 c} (1 - cos \varphi) = λ_c (1 - cos \varphi) = 2 λ_c sin^2 \frac{\varphi}{2}\]

  • 光子动量 \(p = \frac{E}{c} = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ}\)
  • 认为弹性碰撞:

    /_img/pieces/atomic-physics/compton.svg

    \[\left\{\begin{matrix} h ν_0 + m_0 c^2 & = & h ν + m c^2 & (E)\\ h ν_0 & = & m v cos θ + h ν cos \varphi & (p_x)\\ h ν sin \varphi & = & m v sin θ & (p_y)\\ m & = & \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\end{matrix}\right.\]

    解的方法

    解还比较 tricky…

    • 将上面的 \(p_x\) 式和 \(p_y\) 式通过三角函数 \(1 = sin^2 θ + cos^2 θ\) 进行一个约化:

      \[(h ν_0 - h ν cos \varphi)^2 + (h ν sin \varphi)^2 = (m v)^2\]

      左边又可以展开变成 \(h^2 ν_0^2 - 2 cos \varphi h^2 ν ν_0 + h^2 ν^2\).

    • 然后利用 \(E\) 式来进行求解, 其中用到 \(p = h ν / c\):
    • 不如看 维基百科上的推导…

讨论

  • 原波长 \(λ_0\) 成分: X 射线和电子碰撞的时候, 和整个原子相互作用, 这个时候 \(m_0\) 为整个原子质的进制质量, 不是很小的电子质量 (相干散射).

    (就是 \(Δ λ → 0\) 近似认为是原波长)

  • 康普顿轮廓
  • 光电效应中不考虑动量守恒: 束缚能
  • 逆康普顿散射

意义:

  • 支持了光量子, 证实了光量子具有动量 \(p = E / c = h ν / c = h / λ\)
  • 应用: 高能光子源, 光子光子对撞机, 加速器束流能量测量系统

波尔氢原子理论的解释

三个基本假设:

  • 经典轨道 + 定态条件: 原子存在一系列确定能量的稳定状态
  • 频率条件: \(h ν = E_n - E_m\)
  • 角动量量子化条件: \(2 π r ⋅ m_e ν = n h, m_e ν r = n \frac{h}{2 π} = n \hbar\)

    (从电子在轨道上形成驻波可以来理解: \(2 π r = n λ\). )

解一下
  • 动力学方程: \(\frac{Z e^2}{4 π ε_0 r^2} = μ \frac{v^2}{r}\), 其中 \(μ\) 为等效质量
  • 量子化条件: \(μ v r = n \hbar\)
  • 解得 \(v_n = \frac{Z e^2}{4 π ε_0 n \hbar}, r_n = \frac{4 π ε_0 \hbar^2}{μ e^2} \frac{n^2}{Z}\)
  • 于是可以解得能量: \(E_n = \frac{1}{2} μ v_n^2 - \frac{Z e^2}{4 π ε_0 r} = - \frac{μ e^2 Z^2}{2 (4 π ε_0)^2 \hbar^2 n^2}\)
  • 同样可以解得里德伯常量: \(R_H = -\frac{E_n n^2}{h c} = \frac{2 π^2 μ e^4 Z^2}{(4 π ε_0)^2 h^3 c}\)

一些注记:

  • 对应原理: 在量子数很大而改变很小的情况下, 量子理论和经典结果趋近.
  • 使用约化质量 \(μ = \frac{m_e m_p}{m_e + m_p}\) 进行修正.

    并且还能够拓展到其他的类氢原子:

    • 类氢光谱: \(Z > Z_H = 1\), 核外只有一个电子的离子
    • 奇异原子: 原子轨道上一个电子被其他带负电粒子替代
      • \(e- → μ-\) 得到 \(μ\) 子原子
      • \(p+ → μ+\) 正 \(μ+\) 子素
      • \(π+, π-\) 原子
      • …
  • 非量子化轨道: 巴尔末系限外有连续谱. 来源于自由电子和氢离子结合产生的光谱

    自由电子和氢离子结合成一个氢原子的时候, 即电子从非量子化轨道跃迁到一个量子化轨道, 原子向外辐射一个光子, 能量为 \(h ν = E_e - E_n\).

  • 里德伯原子: 原子中有一个电子被激发到很高的能级
    • 平均寿命长
    • 邻近能级差小 (辐射光谱, 敏感探测)
    • 容易被电离, 然后加磁场使得不同质量的同位素分离
    • 能用来产生高强度激光
  • 波尔理论的局限
    • 经典轨道概念
    • 半经典半量子
    • 强度, 极化, 选择定则无法解释, 也无法解释更加复杂的原子
    • 稳定性, 同一性, 再生性无法解释

量子力学初步

波粒二象性

德布罗意物质波

\[λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}, ν = \frac{E}{h} = \frac{m c^2}{h}\]

戴维孙 - 革末电子晶体衍射

/_img/pieces/atomic-physics/davisson-germer.svg

通过观察电子在晶体 (能量计算波长和 X 射线接近) 上的衍射来论证电子的波动性. (布拉格公式: 波程差 \(δ = 2 d sin θ = \frac{2 n + 1}{2} λ ⇒\) 加强)

其他观测微观粒子波动性实验:

  • 汤姆逊电子衍射实验
  • 双缝干涉实验

微观粒子波动性应用:

  • 电子显微镜 (分辨本领 \(δ\theta_m ≈ 1.22 λ / D\))

物质波的统计解释 (玻恩):

  • 波动性: \(\varphi^{*} \varphi\) 表现出现概率大

海森堡不确定性原理

\[Δ x ⋅ Δ p_x ∼ h\]

解释
  • 电子 (单缝) 衍射的不确定性
    • 电子经过缝的位置不确定性 \(Δ x = b\)
    • 一级衍射角 \(sin \varphi = \frac{λ}{b}\); 对应了动量的不确定性: \(Δ p_x = p sin \varphi = p \frac{λ}{b}\).
    • 于是得到不确定性关系 \(Δ x Δ p_x = p λ = h\)
  • 波的解释:
    • 要测量一个波的动量 \(p = \frac{h}{λ}\), 就要测量它的波长.
    • 要测量一个波的波长, 固定一点然后检测上升沿和下降沿 (类似于示波器的 trigger), 显然, 测量的时间越长, 测量的平均 \(\overline{λ}\) 越接近 \(λ\), \(Δ p → 0\).
    • 要测量一个波的位置, (有点像是相位的感觉), 显然, 测量的时间越短, \(Δ x → 0\).

说明:

  • 1927 E.H.Kennard 现代精确不等式 (不确定度定义为标准偏差) \(σ_x ⋅ σ_p \geq \frac{\hbar}{2}\)
  • 能量和时间的不确定关系 \(Δ E ⋅ Δ t \geq \frac{\hbar}{2}\)
    相关的一个拓展
    • 不等式的得到: \(Δ x ⋅ Δ p = c Δ t ⋅ Δ(\frac{h ν}{c}) = Δ (h ν) ⋅ Δ t = Δ E ⋅ Δ t \geq \frac{\hbar}{2}\)
    • 激发态寿命和自然谱线宽度: 激发态寿命 \(Δ t → Δ E → Δ ν\)
  • 好量子数: (用来描述波包的一个有定值的量) \(n, l, m\).

薛定谔方程

概率波和波函数

  • 自由粒子平面波函数: \(Ψ(\boldsymbol{r}, t) = Ψ_0 e^{- i \frac{2 π}{h} (E t - \boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{r})}\)
  • 波函数的统计解释: \(Ψ(\boldsymbol{r}, t)\) 的物理意义在于波函数的模的平方代表时刻 \(t\), 在空间 \(\boldsymbol{r}\) 处单位体积元中微观粒子出现的概率.
    一些错误的观点纠正
    • [错误观点]: 波由粒子组成, 是大量粒子运动的表现.

      无法解释单个电子就具有波动性的实验.

    • [错误观点]: 粒子由波组成, 波是基本组成单元 (波包)

      实验上观测到的电子, 总处于一个小区域内, 其广延不会超过原子大小 \(≈ 1 \mathring{A}\).

  • 波函数应满足的条件
    • 连续性: 概率不会在某处突变, 波函数必须处处连续

      注: 之后在隧穿中, 会用到在边界上的连续条件.

    • 单值性: 任意体积元内只有一个概率
    • 有限性: 概率不可能无限大, 波函数有限
    • 归一化: \(∫_{Ω} Ψ^{*}(\boldsymbol{r}, t) Ψ(\boldsymbol{r}, t) \mathrm{d}V = 1\)

      注: 因为归一化的性质存在, 所以对 \(φ(\boldsymbol{r}, t) = C ψ(\boldsymbol{r}, t)\), 认为描述的相对机率意志, 故描述的是同一机率波.

态叠加原理

  • Dirac 符号 bra: \(\langle A| = \varphi^{*}\), ket: \(|B \rangle = ψ\)
    • 一个事件的表示: 事件从初态 \(i\) 到末态 \(f\) 的概率 \(w_{i → f} = |\langle f|i \rangle|^2\).
  • 概率概率服从的规则
    • 从初态到末态, 存在 \(n\) 个 物理不可分 的路径: \(\langle f|i \rangle = ∑_n \langle f|i \rangle_n\)

      类似于相干叠加.

    • 若 \(n\) 个相互独立的末态 \(f_1, …, f_n\) 跃迁概率已知, 则总概率 \(|\langle f|i \rangle|^2 = ∑_n |\langle f|i_n \rangle_n|^2\)

      类似对应 物理可分 的情况, 类似于非相干叠加.

    • 初态 \(i\) 到末态 \(f\) 的跃迁之间必须经过某一中间态 \(v\), 则跃迁概率幅为 \(\langle f|i \rangle = \langle f|v \rangle \langle v|i \rangle\).
    • 两个独立微观粒子的体系, 同时发生跃迁的概率幅 \(\langle fF|iI \rangle = \langle f|i \rangle \langle F|I \rangle\)
    双缝衍射

    /_img/pieces/atomic-physics/yangs-elec.svg

    • 在两个路径之间没有区别的时候:

      \[I = |∑ \langle x|S \rangle|^2 = |\langle x|S \rangle_1 + \langle x|S \rangle|^2 = I_1 + I_2 + …\]

      有干涉项, 故有衍射现象.

    • 在两个路径之间可以区别的时候: (有探测器的情况)

      \[I = ∑ |\langle x|S \rangle|^2 = I_1 + I_2\]

      没有干涉项, 故没有衍射现象.

薛定谔方程

\[i \hbar \frac{∂}{∂ t} Ψ(\boldsymbol{r}, t) = (- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2}{∂ \boldsymbol{r}^2} + U(\boldsymbol{r}, t)) Ψ(\boldsymbol{r}, t)\]

证明推导
  • 经典波动理论的波动方程: \(\frac{∂^2 y}{∂ t^2} = v^2 \frac{∂^2 y}{∂ x^2}\)
  • 进行类比, 将波函数 \(Ψ(x, t) = Ψ_0 e^{\frac{i}{\hbar}(\boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{r} - E t)}\) 代入
  • 令 \(E = \frac{\boldsymbol{p}^2}{2 m}\) (非相对论), 则有方程: \(i \hbar \frac{∂}{∂ t} Ψ(\boldsymbol{r}, t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2}{∂ \boldsymbol{r}^2} Ψ(\boldsymbol{r}, t)\)
  • 使用算符进行表示: \(\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{∂^2}{∂ \boldsymbol{r}^2} + U(\boldsymbol{r}, t)\), 能量算符 \(\hat{E} = i \hbar \frac{∂}{∂ t}\), 动量算符 \(\hat{\boldsymbol{p}} = i \hbar \frac{∂}{∂ \boldsymbol{r}}\).
  • 所以可以写成 \((\hat{E} - \hat{H}) Ψ(\boldsymbol{r}, t) = 0\).
  • \(U(\boldsymbol{r}, t)\) 势能场决定了粒子状态变化的情况.

分离变量法求解:

  • \(Ψ(\boldsymbol{r}, t) = Φ(\boldsymbol{r}) T(t)\)
  • 时间项方程 \(i \hbar \frac{\mathrm{d} T(t)}{\mathrm{d} t} = E T(t) ⇒ T(t) \propto e^{- i \frac{i}{\hbar} E t}\), 概率与时间无关 (定态波函数方程)
  • \(Φ\) 项方程 \((- \frac{\hbar^2}{2m} ∇^2 + U) Φ = E Φ\)

讨论:

  • 态叠加:
    • 若 \(ψ_1 …, ψ_n\) 是方程的解, 其线性组合 \(ψ = ∑ C_i ψ_i\) 也是解
    • 若 \(ψ_1, …, ψ_n\) 是可能的状态, \(ψ = ∑ C_i ψ_i\) 也是可能的状态
一维无限深势阱, 有限深势阱以及抛物线势阱

对于无限深势阱:

\[U(x) = \left\{\begin{matrix}0 & 0 < x < a\\∞ & x \leq 0, x \geq a\end{matrix}\right.\]

  • \(Φ\) 项方程: \(- \frac{\hbar^2}{2m} ∇^2 Φ + U Φ = E Φ\)
  • 边界条件: \(Ψ = 0, (x \leq 0, x \geq a)\)
  • 解 \(Φ = A sin \frac{n π}{a} x\), \(E_n = n^2 \frac{h^2}{8 m a^2}\)

对于有限深势阱:

\[U(x) = \left\{\begin{matrix}0 & x < 0\\ U_0 & x > 0 \end{matrix}\right.\]

对于抛物线势阱 (谐振子):

\[U(x) = \frac{1}{2} k x^2\]

一维散射和隧穿

一维散射问题:

\[U = \left\{\begin{matrix} 0 & x < 0\\ U_0 & x > 0 \end{matrix}\right.\]

  • 边界条件: \(x → ∞, Φ → 0\)
  • 通解为 \(Φ_j(x) = A e^{i k_j x} + B e^{- i k_j x}\) 有边界方程可以得到: \(Φ_1(x) = A e^{+ k_1 x} + B e^{- k_1 x}, Φ_2(x) = C e^{-k_2 x}\)
  • 得到一个解: 正向传播和反向传播, 以及在势垒后的衰减波

隧穿问题:

\[U = \left\{\begin{matrix}U_0 & 0 < x < a\\ 0 & x < 0, x > a \end{matrix}\right.\]

  • 投射系数 \(T ≈ e^{- \frac{2 a}{\hbar} \sqrt{2 m (U_0 - E)}}\)
  • 前级为波, 在势垒里面衰减波, 在后级为波

应用: STM

  • 隧道电流 \(I\) 和针尖距离关系: \(I \propto U e^{- A \sqrt{Φ} S}\). 其中 \(S\) 为样品和针尖距离, \(U\) 为加在上面的电压, \(A\) 为常数, \(Φ\) 为平均势垒高度.

注: 关于 AFM (原子力显微镜)

  • 和隧穿有点不太一样, 但是用的原理差不多: 可以用电流来测高度.
  • 原子间作用力大小用高度来反应. 比如: 光摄, 音叉之类的

平均值与算符

  • 力学量的平均值 \(\overline{A} = ∫_{- ∞}^{+ ∞} Ψ^{*}(\boldsymbol{r}) \hat{A} Ψ(\boldsymbol{r}) \mathrm{d}\boldsymbol{r}\), 其中 \(\hat{A}\) 为力学量的算符, 如
    • 动量算符: \(\hat{\boldsymbol{p}} = - i \hbar \frac{∂}{∂ \boldsymbol{r}}\).
    • 坐标算符: \(\hat{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{r}\)
    • 能量 (哈密顿) 算符: \(\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} ∇^2 + U(\boldsymbol{r})\)
    • 角动量算符: \(\hat{\boldsymbol{L}} = ∑_i \hat{L}^2_i\)
    • 也可以用 \(\langle ψ| \hat{A} | ψ\rangle = ∑_{μ\nu} c_{μ}^{* } c_{ν} \langle ψ_{μ}| \hat{A} |ψ_{ν} \rangle =∑_{μ\nu}c_{μ}^{*}c_{ν} R_{ν} δ_{μ\nu}\), 其中 \(R_{ν}\) 为本征值.
  • 算符的本征方程: \(\hat{A} ψ_A = A ψ_A\)
  • 算符的对易关系:

    有泊松方程 \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} ⋅ \hat{B} - \hat{B} ⋅ \hat{A}\)

    • 对易 \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} ⋅ \hat{B} - \hat{B} ⋅ \hat{A} = 0\)
    • 非对易 \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} ⋅ \hat{B} - \hat{B} ⋅ \hat{A} ≠ 0\)

      如: \([\hat{x}, \hat{p}] = i \hbar\)

氢原子解

\[Ψ_{n,l,m}(r, θ, φ) = R_{n,l}(r) Θ_{l,m}(θ) Φ_m(φ)\]

  • 主量子数 (能量): \(n = 1, 2, 3, …\)
  • 轨道角动量 (角动量): \(l = 0, 1, …, n - 1\)
  • 磁量子数 (核外角动量在 \(z\) 上分量大小) \(m = 0, ± 1, ± 2, …, ± l\)
解的一些具体过程

对 \(Φ = R(r) Y(θ, \varphi)\) 展开, 有:

\[\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^2 \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}) + \frac{2 μ E}{\hbar^2} r^2 + \frac{2 μ e^2}{4 π ε_0 \hbar^2 r} r^2 = - \frac{1}{Y} [\frac{1}{sin θ} \frac{∂}{∂ θ}(sin θ \frac{∂ Y}{∂ θ}) + \frac{1}{sin^2 θ} \frac{∂^2 Y}{∂ \varphi^2}] = λ\]

  • 径向方程: \(\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^2 \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}) + \frac{2 μ E}{\hbar^2} R + \frac{2 μ e^2}{4 π ε_0 \hbar^2 r} R - \frac{λ}{r^2} R = 0\)
  • 角方程: \(\frac{1}{sin θ} \frac{∂}{∂ θ}(sin θ \frac{∂ Y}{∂ θ}) + \frac{1}{sin^2 θ} \frac{∂^2 Y}{∂ \varphi^2} = - λ Y\)

电子自旋和原子能级的精细结构

前置知识

施特恩-盖拉赫实验

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细节的一些说明:

  • 实验现象: 加磁场前后探测屏上的粒子从一条分裂成两条 (偶数条)
  • 原理: 磁矩在非均匀磁场中受力 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{μ} ∇ \boldsymbol{B}\), 所以在经过非均匀磁场后, 会受到一个和角动量有关的力发生偏转.
    更加详细
    • 实验只施加 \(z\) 方向上的梯度, 即 \(∂_x \boldsymbol{B}\) 和 \(∂_y \boldsymbol{B}\) 为零
    • 电偶极矩: \(\boldsymbol{p} = q \boldsymbol{l}\), 电场中受力 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{p} ∇ ⋅ \boldsymbol{E}, U = - \boldsymbol{p} ⋅ \boldsymbol{E}\)
    • 磁偶极矩: \(\boldsymbol{μ} = I S \boldsymbol{n} = - \frac{e}{2 m_e} \boldsymbol{L}\), 磁场中受力: \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{μ} ∇ \boldsymbol{B}, \boldsymbol{M} = \boldsymbol{μ} × \boldsymbol{B}\)
    • 因为有偶数条, 可以说明空间角动量 (\(μ\)) 的量子化
    • 但是轨道角动量 \(2l + 1\) 无法被解释 \(→\) 需要更加完整的量子化理论
  • 实验证明了:
    • 空间是量子化的
    • 电子的自旋假设正确且 \(s = 1/2\)
    • 电子磁矩数值为 \(μ_{s,z} = ± μ_B, g_s = 2\)

电子自旋

假设:

  • 电子有自旋, 电子的自旋带来了一个 \(μ_s\) 的磁矩
  • 认为电子的自旋角动量 \(\boldsymbol{S}\), 磁矩 \(μ_s = - \frac{e}{m_e}S, μ_s = \frac{e \hbar}{m_e} \sqrt{s(s + 1)}\).
    更加详细的推导

    从角动量的量子化:

    \[L^2 = l (l + 1) \hbar^2, L_z = m_l \hbar\]

    类比假设电子的角动量量子化:

    \[S^2 = s(s + 1) \hbar^2, s = 1/2; S_z = m_s \hbar, m_s = ±1/2\]

    于是由 \(\boldsymbol{μ}_l = - \frac{μ_B}{\hbar}, \boldsymbol{μ}_{lz} = - m_l \boldsymbol{μ}_B\), 有 \(μ_s = - \frac{g_s μ_B}{\hbar} \boldsymbol{S}, μ_{sz} = - m_s g_s μ_B\), 其中 \(g_s = 2\).

  • 总磁矩 = 轨道磁矩 + 自旋磁矩 + 核磁矩
  • 轨道与自旋耦合: \(\boldsymbol{J} = \boldsymbol{L} + \boldsymbol{S}\), \(J = \sqrt{j (j + 1)} \hbar\). (\(\boldsymbol{J}\) 为总角动量, \(j = l + s, l + s - 1, …, |l - s|\) 共有 \(2 min\{s, l\} + 1\) 个值)
  • 朗德因子 \(g_j = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(\frac{s(s + 1) - l(l + 1)}{j(j + 1)})\)

    代表的物理含义:

    • 自旋作为内禀的转动自由度, 应有相关的磁矩

    计算 \(g\) 因子:

    • \(^{2s + 1}L_j → g = 1 + \frac{j(j + 1) - l(l + 1) + s(s + 1)}{2j(j + 1)}\)
    • \(L\) 的符号: \(s = 0, p = 1, d = 2, f = 3, g = 4, h = 5, …\)

碱金属双线

  • 碱金属价电子与原子实:
    • 最外层只有一个电子, 价电子和其余部分和核形成一个紧固的原子实
    • 原子实认为是一个带正电的整体
  • 碱金属能级和氢原子区别
    • 能级除了和 \(n\) 有关, 还和 \(l\) 有关, 原因: 轨道贯穿效应 + 原子实极化
      • 轨道贯穿效应: 外层电子进入原子实 \(Z^{*}\) 增加, 能量降低
      • 原子实极化: 价电子对原子实产生的电场使得原子实极化, 偶极子使得价电子获得了负的电势能
    • 碱金属原子能量高低取决于电子组态 \(n, l\) \(E_{nl} = - \frac{1}{2} m_e c^2 α^2 \frac{ {Z_{nl}^{ * } }^2}{n^2} = - \frac{1}{2} m_e c^2 α^2 \frac{1}{(n - Δ_{nl})^2}\)
  • 自旋轨道相互作用:
    • 以电子为参考的旋转系中:
      • 原子实在电子处产生的磁场: \(\boldsymbol{B} = - \frac{1}{4 π ε_0} \frac{Z^{* } e \boldsymbol{v} × \boldsymbol{r}}{c^2 r^3} = \frac{1}{4 π ε_0} \frac{Z^{*} e \boldsymbol{L}}{m_e c^2 r^3}\)
      • 于是 (电子) 自旋磁矩的能量: \(U = \boldsymbol{μ}_s ⋅ \boldsymbol{B} = \frac{Z^{*} e^2}{4 π ε_0 m_e^2 c^2} \frac{1}{r^3} \boldsymbol{S} ⋅ \boldsymbol{L}\)
    • 在原子实静止系中: \(U = \frac{1}{2} \frac{Z^{*} e^2}{4 π ε_0 m_e^2 c^2} \frac{1}{r^3} \boldsymbol{S} ⋅ \boldsymbol{L}\)
    • 耦合能量: \(E_{l,s} = \frac{R h c α^2 {Z^{*}}^4}{n^3 l (l + \frac{1}{2})(l + 1)} \frac{j(j + 1) - l(l + 1) - s(s + 1)}{2}\)
    • 于是有能级分裂: \(Δ E = \frac{R h c α^2 {Z^{*}}^4}{n^3 l (l + 1)}\)
    • 可以反过来估算内磁场大小 \(\boldsymbol{B}_{in} = \frac{Δ E}{2 μ_B}\)
  • 纳黄线

氢原子精细结构

相对论质量效应修正

  • 修正方式: 量子力学采用微扰理论来处理一阶小量, 零阶近似下能量和波函数.
  • 相对论质量效应: \(Δ E_n' = \langle - \frac{p^4}{8 m_e^3 c^2} \rangle = -\frac{1}{2 m_e c^2} [E_n^2 + 2 E_n \frac{Z e^2}{4 π ε_0} \langle \frac{1}{r} \rangle + \frac{Z^2 e^4}{(4 π ε_0)^2} \langle \frac{1}{r^2} \rangle]\)
  • 相对论势能项 (达尔文修正) \(Δ E_n” = - \frac{Z^2 α^2}{n^2} n E_n\)

精细结构

\[E_{nj} = E_n - \frac{Z^2 α^2}{n^2} E_n (\frac{3}{4} - \frac{n}{j + \frac{1}{2}})\]

兰姆移位

/_img/pieces/atomic-physics/lamb.svg

  • 通过加热是氢分子分解产生氢原子
  • 使用电子枪轰击氢原子使其跃迁到 \(2^2 S_{1/2}, 2^2 P_{1/2}\)

超精细结构

原子核磁矩 \(\boldsymbol{μ}_I\), 在和电子产生的磁场相耦合 \(U = \boldsymbol{μ} ⋅ \boldsymbol{B}_e = A \boldsymbol{I} ⋅ \boldsymbol{J}\), 耦合得到 \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \boldsymbol{J}\). 最终有总能量 \(U = \frac{a}{2} [F(F+1) - I(I+1) - J(J+1)]\)

对于氢原子, \(I = 1/2, J = 1/2\), 故 \(F = 0, 1, U = \frac{1}{4}a, - \frac{3}{4} a, Δ E = a = \hbar^2\). 在这两个能级之间跃迁差的能量放出的波长 \(λ = 21cm\).

\(21cm\) 谱线的应用:

  • 无线电波可以穿过地球大气层被观测到, 可以穿过可见光是不透明的星际云等巨大星际介质区域
  • 假定氢原子在整个星系中均匀分布, 所以通过测量每条线的多普勒效应计算每个旋臂的相对速度.
  • 跃迁性质: 自发跃迁机率低, 被宇宙尘埃吸收概率小 (携带信息久远), 低温碰撞 (粒子数反转)
  • 宇宙学红移 \(→\) 接收到的波长随产生时间变长 \(→\) 气体云团的视向速度
  • 谱线观测 \(→\) 氢分布图 \(→\) 银河系旋臂结构
  • 赛曼效应 \(→\) 星系内磁场

赛曼效应

原子磁矩和外磁场发生相互作用, 导致原子能级和原子光谱线的分裂现象.

  • 弱磁场中 \(U = - m_J g_J \boldsymbol{μ}_B ⋅ \boldsymbol{B}\)
  • 于是能量根据 \(m_J = 0, ± 1, …, ± j\) 变成了 \(2j + 1\) 条谱线
  • 磁量子数的选择定则: \(Δ m = m_{J_1} - m_{J_1} = 0, ± 1\)
例题: 通过计算朗德因子来进行计算 (正常) 能级分裂
  • \(^1P_1\): \(s = 0, j = 1, g = 1 + \frac{2 - 2 + 0}{2} = 1, m_J = 0, ±1, Δ E = [1, 0, -1] B μ_B\)
  • \(^2P_{3/2}\): \(s = \frac{1}{2}, j = \frac{3}{2}, g = 1 + \frac{\frac{15}{4} - 2 + \frac{3}{4}}{2 \frac{15}{4}} = \frac{4}{3}, m_J = ± \frac{1}{2}, ± \frac{3}{2}, Δ E = [2, \frac{2}{3}, - \frac{2}{3}, -2] B μ_B\)
  • \(^4D_{1/2}\): \(s = \frac{3}{2}, j = \frac{1}{2}, g = 1 + \frac{\frac{3}{4} - 6 + \frac{63}{4}}{2 × \frac{3}{4}} = 0, m_J = ± \frac{1}{2}, Δ E = 0\)

塞曼效应和偏振

  • 实验现象:
    • 沿着外磁场方向观察: 可以看到 \(Δ m = ± 1\) 的两条谱线, 为圆偏振光
      • \(Δ m = + 1\), 左旋圆偏振光, \(σ^+\)
      • \(Δ m = - 1\), 右旋圆偏振光, \(σ^-\)
    • 垂直外磁场方向观察: 可以看到 \(Δ m = 0, ± 1\) 三条谱线, 均为线偏振光
      • \(Δ m = 0\), 偏振方向沿外磁场方向 \(z, π_z\)
      • \(Δ m = ± 1\), 垂直于观测方向 \(x\) 与外磁场方向 \(z, π_y\)
  • 光子有自旋 \(S = 1, S_z = ± 1\)

反常塞曼效应:

  • 上下能级 \(S_1, S_2\) 都不等于零, \(g_1, g_2 ≠ 1\), 非单态能级的跃迁

超精细结构的塞曼分裂:

  • 外磁场的强度远小于原子核感受到的电子磁矩产生的磁场强度

斯塔克效应

电偶极矩可以写成 \(\boldsymbol{D} = - ∑ e \boldsymbol{r}\), 在外电场中的能量 \(U = - \boldsymbol{D} ⋅ \boldsymbol{E}\), 原子在外电场中引起的能量变化 \(U = - (- e \boldsymbol{r}) ⋅ \boldsymbol{E} = e E z\).

核磁共振

质子有内禀自旋角动量和自旋磁偶极矩, 两者方向相同. 在均匀磁场中的两个量子态的能量差 \(Δ E = 2 μ_z B\).

在交变电磁场下的质子在满足 \(h f = 2 μ_z B\) 的时候, 则会使得磁矩和角动量反向, 产生自旋 - 倒逆现象, 说明交变电磁场中会有可测量的净能量吸收.

其他的无关的东西

  • maxima 如果未来有可能, 我希望能够为学着它写一点代码, 或者说, 最终能够给它贡献一些代码就好了.
  • 如果能有一个 “第一性原理” 就好了…

    怎么说呢? 不知道是因为我没认真听课还是什么, 感觉在原子物理里面有一个和其他物理课都不同的一个 “混乱感”. 感觉更像是数据结构而不像是其他的物理课.

    别说了, 这周还有数据结构, 淦, 还没复习…

    感觉这样的 “第一性原理” 可能并不是很好找到…