Preview

都学了啥

寒假的补充部分

反常积分

\[\lim_{a \rightarrow x_1, b \rightarrow x_2} \int_a^b f(x) \mathrm{d}x, x_1, x_2 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty \}\]

无界区间的反常积分
- 柯西主值: $\lim_{A\rightarrow\infty}\int_{-A}^{A} f(x) \mathrm{d}x$
- 柯西收敛准则: $\forall \varepsilon > 0, \exist N > 0, \forall A, B > N, \vert \int_A^B f(x) \mathrm{d}x\vert < \varepsilon$
无界函数的反常积分
- 瑕点: 积分收敛的点
- 柯西收敛准则: $\forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, \forall A, B \in (a, a + \delta), \vert \int_A^B f(x) \mathrm{d}x\vert < \varepsilon$

绝对收敛$\Rightarrow$收敛

反常积分的收敛判断

非负函数的反常积分判断方法
- 三明治方法: 比较另外的已知收敛性的函数
- p-判断法: $f(x) < \frac{1}{x^p}, (p>1)$或者$\lim_{x \rightarrow \infty} x^p f(x) = c, (p > 1)$
一般函数的反常积分判断方法
- Dirichlet判别法:
  1. $F(u) = \int^u_{x_0} f(x) \mathrm{d}x$有界
  2. $g(x) \rightarrow 0$单调趋于零
- Abel判别法:
  1. $\int^{\infty}_{x_0}f(x) \mathrm{d}x$收敛
  2. $g(x)$单调有界

如何判断为反常积分是否收敛:

p收敛: 一般对于多项式的积分比较适用
\[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{1+x^4}} \mathrm{d}x \leadsto \frac{1}{x^{4/3 > 1}} \Rightarrow 收敛\]

Dirichlet和Abel收敛
\[\int_1^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x} \mathrm{d}x {u = \sqrt{x} \above{} \Rightarrow } \int_1^{+\infty} \frac{\sin u}{u} \mathrm{d}u\\\int_1^{+\infty}\sin u\mathrm{d}x 有界, \frac{1}{u} \rightarrow 0 \Rightarrow 收敛\]

\[\int \vert \frac{\sin x}{x} \vert \mathrm{d}x \geq \int \vert \frac{\sin^2 x}{x} \vert \mathrm{d}x = \int \vert \frac{1 - \cos 2x}{2x} \vert \mathrm{d}x \\ \int \frac{1}{2x} \mathrm{d}x 发散, \int \vert \frac{\cos 2x}{2x} \vert \mathrm{d}x 收敛\\ \Rightarrow 原积分发散\]

函数项级数 - 函数列

定义: 称${f_n\vert f_n:E \rightarrow \mathbb{R}}$为函数列,
并且称$D = {x \in E \vert \lim_{n\rightarrow\infty} f_n \in \mathbb{R}}$为其收敛域.
$f(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} f_n$为极限函数
逐点收敛: $\forall x \in D, \forall \varepsilon > 0, \exist N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \vert f_n(x) - f(x)\vert < \varepsilon$
一致收敛: $\forall \varepsilon > 0, \exist N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \vert \vert f_n(x) - f(x)\vert \vert _D < \varepsilon \Leftrightarrow \{f_n(x)\} \rightrightarrows f(x)$
其中, $\vert \vert f\vert \vert _D = \sup_{x \in D} \{f(x)\}$ 称为最大值范数, 满足三角形不等式
注意区分逐点收敛和一致收敛的区别, 一个是绝对值, 一个是最大值范数. 逐点收敛和一致收敛是不一样的.
柯西收敛准则: $\vert \vert f_n - f_m\vert \vert < \varepsilon, \forall n, m > N(\varepsilon)$
不一致收敛的充要条件: $\exist {x_n} \subset D, {f_n(x) - f(x)} \nrightarrow 0$
内闭一致收敛: 闭区间$(\subset D)$上的一致收敛
Dini定理: $[a,b]上连续的函数列{f_n}, 对\forall x \in [a,b] 有 {f_n(x)}递减趋于零 \Rightarrow {f_n} 一致趋于0$
等度连续: $\forall \varepsilon > 0, \exist \delta(\varepsilon) > 0, \forall x, y \in E, \vert x - y \vert < \delta(\varepsilon), n \geq 1, \vert f_n(x) - f_n(y) \vert < \varepsilon$
等度连续$\Rightarrow f_n(x)$连续, 反之不然
Ascoli-Arzela定理:
1. ${f_n(x)}$逐点有界
2. ${f_n(x)}$等度连续
则存在一致收敛的子函数列.
一致连续的性质: 极限, 积分, 微分求和换序

注: 上面的收敛域指的是使得函数列${f_n}$相对$n$极限存在的$x$的区域

最大值范数的使用:
$\lim_{n\rightarrow\infty} \sup f_n(x)$, 这种一般是先把外层的极限固定, 然后计算出里面的最大值之后再去取极限.
然后用这种方法就可以检测是否一致收敛了.

函数列的逐点收敛判断:
通过构造一个$x(n)$然后代入, 让$n \rightarrow \infty$的时候$f_n\nrightarrow f(x)$
比如:

$f_n(x) = x^n$, 在$x \geq 1$时就不收敛

$\sin \frac{x}{n}$, 取$x=n$则不收敛

函数列的一致收敛验证:
先算出$f(x)$然后做差$f_n - f$, 计算出差最大的时候(一般求导, 得到$x(n)$), 然后代入$f_n(x(n))$看看会不会趋于无穷.
比如:

$f_n(x) = (1+\frac{x}{n})^n, x \in [0, 1]$
极限函数$f(x) = e^x$显然, 然后就是$\sup{\vert f_n - f \vert}$, 用求导的方式计算出导数恒大于零, 于是单调递增, 所以最大值会在$x=1$取到, 但是收敛.

$f_n(x) = n x e^{-n x^2}, x \in (0, \infty)$
先求极限函数$\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 0$, 然后再求$g(x) = \vert f_n(x) - f\vert$相对$x$的最大值$x(n)$, 然后看看是否会有$\lim_{n \rightarrow \infty} g(x(n)) \rightarrow 0$

若要证明不一致收敛, 就需要找一个让${f_n(x_n) - f(x_n)}$不收敛到0的子列${x_n}$
比如:

$f_n(x) = \frac{n x}{1 + n^2 x^2}$, 构造$x_n = \frac{1}{n}$就会让$f_n = \frac{1}{2}$, 不收敛, 所以$(0, 1)$就是不一致收敛的, 然后$(1, +\infty)$是一致收敛的.

一致连续函数列的性质的利用:

函数项级数的一致收敛性

注: 这个是指部分和函数列在$n$趋于无穷的时候的收敛性质

部分和: $S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} f_n(x)$
收敛区域: ${x \vert \lim_{n \rightarrow \infty} S_n(x) \in \mathbb{R}}$
收敛点, 发散点

对于能够给出$S_n(x)$解析表示的问题, 一般直接就可以当作是${S_n(x)}$函数列来做了.

$\sum \frac{(-1)^n}{n+\sin x}$, 一般看到$(-1)^n$就会想到Dirichlet判别法:

$v_n = \frac{1}{n + \sin x}$对$n$单调

$u_n= (-1)^n$ 有界

幂级数

Abel 第一定理: $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$在$x_0$收敛, 则在$(- \vert x_0 \vert, \vert x_0 \vert)$区间收敛.
Abel 第二定理: 对收敛区间为$(-R, R)$的幂级数:
1. 幂级数在收敛区间上内闭一致收敛
2. 若幂级数的一个端点收敛, 则幂级数在$(-R, R]$或$[-R, R)$收敛
幂级数的收敛半径, 收敛区间
注意求出了收敛半径, 收敛区间还要考虑边界情况是否包含.
收敛半径的确定方法:
- 比率判别法: 收敛半径$R = \lim_{n \rightarrow \infty} \vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \vert$
- 根式判别法: 收敛半径$R = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}$
幂级数性质:
- 连续
- 积分换序
- 导数换序
  导数后收敛半径不变, 但是端点的收敛性可能会改变
泰勒级数: 泰勒展开的级数

计算收敛半径以及判断收敛域

比式

根式

二项式展开
\[(1 - x)^\alpha = \sum^\infty_{k=0} C_{\alpha}^k (-t)^k\]

傅立叶级数 - 三角级数

三角级数
- 收敛性
- 唯一性
傅立叶级数:

\[a_n = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \cos(\frac{2 n \pi}{T} x) \mathrm{d}x \\ b_n = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x) \sin (\frac{2 n \pi}{T} x) \mathrm{d}x\]

函数内积: $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$
对于三角函数系, 内积就是
范数: $\vert\vert f(x) \vert\vert_{L^2} = \sqrt{\langle f, f\rangle}$
内积正交: $\langle f, g \rangle = 0$
Parseval 不等式:
对于标准正交函数系

\[\langle f - f_n , f - f_n\rangle = \langle f, f \rangle - \sum_{k=1}^n a_k^2\]

其中$a_k = \langle f, \phi_n \rangle, f_n(x) = \sum_{k=1}^n a_k \phi_k(x)$, 并且满足$\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^2 \leq \langle f, f \rangle$.

贝塞尔不等式: $\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_n^2 + b_n^2) \leq \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f^2(x)\mathrm{d}x$
黎曼-勒贝格定理: $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\pi f(x) \cos n x \mathrm{d}x = 0, \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{d}x = 0$
$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\pi f(x) \sin (n + \frac{1}{2})x \mathrm{d}x = 0,\lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^\pi f(x) \cos (n + \frac{1}{2})x \mathrm{d}x = 0$
傅立叶级数逐点收敛性质:
- 积分表达式: $S_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}\mathrm{d}t$
  Dirichlet核: $D_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{x}{2}} && x \neq 2 k \pi \\ n + \frac{1}{2} && x = 2 k \pi \end{array} \right.$
- 逐点收敛定理: $f$在周期区间$[-\pi, \pi]$上分段光滑, 则 $\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} = \frac{a_0}{2} + \sum^\infty_{n=1}(a_n \cos n x+b_n \sin n x)$
- 逐项积分定理, 即积分可以换序.
- 逐点可导定理, 即$\frac{f’(x^+)+f’(x^-)}{2} = \sum_{n=1}^\infty (n b_n \cos n x + n a_n \sin n x)$
- 按Cesaro和收敛: $\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} S_k(x)$

正交函数系的证明

对于那些多阶导数的做法, 一般采用分部积分:
\[\int_{-1}^{1} L_n(x)L_m(x) \mathrm{d}x = 0, n \neq m\]
其中$L_n = \frac{1}{2^n n!}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} x^n}[(x^2 - 1)^n]$, 对于这个问题, 可以将

多元函数平面点集

$B_r(\boldsymbol{a}) = {(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2: \vert\vert \boldsymbol{x} - \boldsymbol{a} \vert\vert \leq r}$
$[a, b] \times [c, d] = {(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2: a \leq x_1 \leq b, c \leq x_2 \leq d}$
领域(方形或者圆形), 空心领域
补集: $E^C$
内点: $\exist \boldsymbol{a}: U(\boldsymbol{a}) \subset E$
内点的集合: $int(E)$或者$E^0$
外点: $\exist \boldsymbol{a}: U(\boldsymbol{a}) \subset E^C$
边界点: $\forall \boldsymbol{a}: U(\boldsymbol{a}) \cap E \neq \varnothing$
边界: $\partial E$
聚点: $\forall U^0(\boldsymbol{a}), U^0(\boldsymbol{a}) \cap E \neq \varnothing$
聚点的集合: $E^d$
孤立点: $\boldsymbol{a} \in E \wedge \exist U^0(\boldsymbol{a}), U^0(\boldsymbol{a}) \cap E = \varnothing$
开集: $E = int(E)$
闭集: $E^C$为开集, 即闭集与开集互为补集
连通: $E = A \cup B, A \cap B = \varnothing, A, B \neq \varnothing, A \cap B^d \neq \varnothing \vee A^d \cap B \neq \varnothing$
路径联通: 可以用一条路径来连接任意两点

(区域)连通$\Rightarrow$路径连通, 路径连通$\nRightarrow$连通

开域: 非空连通开集
闭域: 开域与其边界点的并$E \cup \partial E$
闭包: $\bar{E} = E \cup E^d$
集合直径
集合之间的距离

平面点集的关系:

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
$\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$
这种代入定义分类证明:

$x \in A \cap B$: $x \in A \wedge x \in B \Rightarrow x \in A \cap B$

$x \in (A \cap B)^d$: $\exist {x_n \rightarrow x, x_n \in A \cap B}$

类似的还有$(A \cap B)^0 = A^0 \cap B^0$:
$\forall x \in (A \cap B)^0 \Leftrightarrow \forall x \in A^0 \cap x \in B^0$

二元函数

极限前置信息

\[\boldsymbol{a} \rightarrow \boldsymbol{a}_0 \Leftrightarrow x_n \rightarrow x_0, y_n \rightarrow y_0\]

柯西收敛准则: $\vert\vert \boldsymbol{a}_n - \boldsymbol{a}_m \vert\vert < \varepsilon$
闭区间套定理: 闭集合列${D_n}$满足:
- $D_n \supset D_{n+1}$
- $d(D_n) \rightarrow 0$
则存在唯一的点$\boldsymbol{a}\in\cap_{n=1}^\infty D_n$
聚点定理: 有界无限点集$E\subset\mathbb{R}^2$中至少有一个聚点
紧致性定理: 有界无穷点列${\boldsymbol{a}_n}\subset\mathbb{R}^2$一定存在收敛子列
有限覆盖定理: 开集族${\Delta_\alpha}, D \subset \cup \Delta_\alpha$, 则存在有限开集覆盖$D$, 即$D \subset \Delta_1 \cup \cdots \cup \Delta_n$

二元函数极限

重极限: $f(\boldsymbol{x}) \rightarrow A$ :聚点 $\boldsymbol{x}_0 \in D$ , $\forall \varepsilon > 0, \exist \delta(\boldsymbol{x}_0, \varepsilon) > 0, s.t. \forall \boldsymbol{x} \in U_\delta^0(\boldsymbol{x}_0) \cap D, \vert f(\boldsymbol{x}) - A\vert < \varepsilon$
- 归结原则: $\lim_{\boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{x}_0} f(\boldsymbol{x}) = A \Leftrightarrow$
  1. $\forall E \subset D$, 对聚点 $\boldsymbol{x}_0$ 有 $\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0} f(\boldsymbol{x}) = A$
    即区域大小和极限无关
  2. $\forall {\boldsymbol{x}_n} \subset D \setminus{\boldsymbol{x}_0}$满足${f(\boldsymbol{x}_n)} \rightarrow A$
    任意子列收敛
累次极限: 按$x, y$顺序先后取极限
$\lim_{x \rightarrow x_0}\lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) = A$
可以存在, 或者不存在, 或者存在但是两个不相等
- 累次极限和重极限的存在性没有必然联系
- 若存在, 则于重极限相等

二元函数的极限的计算: (重极限)

对于$(x, y) \rightarrow (0, 0)$的情况, 适合$y = m x$, 然后将问题转化为一元函数$f(x, m x)$的极限问题

对于齐次的$f(x, y)$, 或者能够化简成齐次的函数, 想办法化简成齐次的函数.
比如: $\lim_{(x, y) \rightarrow(0, 0)}{\frac{x^2 y}{x^4 + y^2}}$

善于使用放缩:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (+ \infty, +\infty)} (\frac{x y}{2x^2 + 3 y^2})^{x^2} \\ 2 x^2 + 3 y^2 \geq 2\sqrt{6} x y \Rightarrow \lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{1}{2\sqrt{6}})^{x^2} \rightarrow 0$

连续

定义: $\forall \varepsilon > 0, \exist \delta > 0, s.t. \forall x \in D \cap U_\delta(\boldsymbol{x}_0)\ \vert f(\boldsymbol{x}) - f(\boldsymbol{x}) \vert < \varepsilon$
可去间断点
连续的充要条件:
- 全增量趋于零
有界闭集连续函数性质:
- 有界性
- 有最大值和最小值
- 一致连续
- 介质定理

微分

偏导数
- 偏导数存在不代表连续
  比如 $f(x, y) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2 + y^2} & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0 & x^2 + y^2 = 0\end{array}\right.$
- 连续不一定有偏导数
法向量和切平面
方向导数$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{s}} = (\nabla f) \cdot \frac{\boldsymbol{s}}{s}$

题目

(一致)连续函数列的一致收敛极限仍为(一致)连续函数

连续函数的版本: $f_n \rightrightarrows f: \vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert f(x) - f_n(x) \vert + \vert f_n(x) - f_n(y) \vert + \vert f_n(y) - f(y) \vert \rightarrow 0$
一致连续函数列的版本: $\vert f_n(x) - f_n(y) \vert$ 只与$\vert x-y \vert$有关

$f_{n+1}(x) = \int_a^x f_n(t) \mathrm{d}t, f_n \rightrightarrows 0$

(遇到有递推式的积分, 可以)利用绝对值不等式来放缩: $\vert f_{n+1}(x) \vert = \int_a^x f_n(t) \mathrm{d}t \leq \int_a^x \vert f_n(t) \vert \mathrm{d}t \leq M_n (x - a)$, 其中$M_n$为这一段的函数最大值(积分中值定理的放缩).

\[\sum \frac{x + (-1)^n n}{x^2 + n^2} = \frac{x}{x^2 + n^2} + \frac{(-1)^n n}{x^2 + n^2}\]

通过将原来的东西拆成两部分来分别判断, 前面的部分比较好判断, 后面的部分$\frac{n}{x^2 + n^2}$关于$n$单调减少, 然后$(-1)^n$有界. 用Dirichlet判断.

\[\vert u_n(x_1) + u_n(x_2) \vert \leq L \vert x_1 - x_2 \vert \Rightarrow \sum \frac{u_n}{2^n} 连续可导\]

证明导数的极限逐点收敛, 最后一致收敛.

利用积分和导数的求和方法:

$\sum n(n+1) x^n$, 用积分来做问题, 不过要先除掉一个$x$

$\sum n^3 x^n$, 最笨的方法就是反复变换, 反复积分
巧妙一点的方法就是$n^3 = (n+1)(n+2)(n+3) + \alpha(n+1)(n+2) + \beta(n+1) + \gamma$, 拆开之后再分开求, 会简单一点点.

$\overline{A} = {p \in \mathbb{R}^2 : \rho (p, A) = 0}$

对这种的证明就利用定义和分类来做, 对于$x \in A$是显然的, 然后对于$x \in A^d$的只需要${x_n \in A}\rightarrow x$即可.

$\forall p, q, \vert \rho(p, A) - \rho(q, A) \vert \leq \rho (p, q)$

这个不可以直接说$\vert \rho(p, x)_{= \rho(p, A)} - \rho(q, x) \vert \leq \rho (p, q)$, 因为$A$是否是有界闭集会比较麻烦.

\[\int_0^T f(x) \mathrm{d}x = 0 \Rightarrow \int_0^T \vert f(x) \vert^2 \mathrm{d} x (\frac{T}{2\pi})^2 \int_0^T |f'(x)|^2 \mathrm{d}x\]
$f$连续分段光滑

于是把$f$展开成$\sum a_n \cos n x + b_n \sin n x$一样的东西, 然后展开有:

\[\int f^2 \leftrightarrow \sum a_n^2 + b_n^2 \\ \int (f')^2 \leftrightarrow \sum n^2 a_n^2 + n^2 b_n^2 \\ \Rightarrow n > 1: 成立\]

歪理

记录一些自己的理解, 不一定正确.

函数的一致收敛就是为了证明$\lim_{x \rightarrow x_0} \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow x_0} f_n(x)$, 也就是可以交换.

后记

这个妹妹我是见过的.

曹雪芹《红楼梦》

但是有什么用呢?